Lý thuyết Nhận biết và chứng minh hai đường thẳng vuông góc

- Định nghĩa: Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau, kí hiệu a ⊥ b, nếu góc giữa chúng bằng 90°.

- Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian:

+ Cách 1. Sử dụng định nghĩa: Tính số đo góc của hai đường thẳng đó và chứng minh nó bằng 90°.

+ Cách 2. Áp dụng tính chất từ vuông góc đến song song: $\left\{\begin{array}{l}a\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}b\\ a\perp c\end{array}\right.\Rightarrow b\perp c$ .

+ Cách 3. Sử dụng tích vô hướng: Tìm hai vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}$ , $\overrightarrow{u_2}$ của hai đường thẳng d₁, d₂. Khi đó $d_1\perp d_2\iff \overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}=0$ .

+ Cách 4. Sử dụng các tính chất trong hình học phẳng: đường cao, đường trung trực, định lí Pythagore, …

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Chứng minh AO vuông góc với CD.

Lời giải

Do tứ diện ABCD đều nên các tam giác ACD, BCD là các tam giác đều.

Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD nên O vừa là trọng tâm, vừa là trực tâm, vừa là giao 3 đường phân giác của tam giác BCD.

Khi đó ta suy ra được CA = CD = a, CO = $\frac{a\sqrt{3}}{3}$ , $\widehat{ACD}=60°,\widehat{OCD}=30°$ .

Ta có: $\overrightarrow{AO}.\overrightarrow{CD}=\left(\overrightarrow{CO}-\overrightarrow{CA}\right).\overrightarrow{CD}$

$$\begin{gathered} =\overrightarrow{CO}.\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CD}=CO.CD.\cos 30°-CA.CD.\cos 60° \\ =\frac{a\sqrt{3}}{3}.a.\frac{\sqrt{3}}{2}-a.a.\frac{1}{2}=\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{2}=0 \end{gathered}$$

Suy ra AO vuông góc với CD.

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có AB = CD. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm của AC, BC, BD, AD. Chứng minh IE và JF vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải

Tứ giác IJEF là hình bình hành

Mặt khác: $\left\{\begin{array}{l}IJ=\frac{1}{2}AB\\ JE=\frac{1}{2}CD\end{array}\right.$  mà AB = CD nên IJ = JE

Do đó, IJEF là hình thoi.

Vậy IE và JF vuông góc với nhau.