Lý thuyết Tính các giá trị lượng giác của một góc lượng giác

* Phương pháp: Để tính giá trị lượng giác của một góc lượng giác, ta sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản hoặc nhóm công thức liên hệ giữa các giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt.

* Các công thức thường sử dụng:

*Các hệ thức lượng giác cơ bản:

ü sin2 α + cos2 α = 1;

ü  $1+{\tan }^2 \alpha =\frac{1}{{\cos }^2 \alpha } \left(\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi , K\in Z\right)$

ü  $1+co{t}^2 \alpha =\frac{1}{{\sin }^2 \alpha }$ $\left(a\ne k\pi , k\in Z\right)$;

ü $\tan \alpha .cot \alpha =1 \left(\alpha \ne \frac{\pi }{2}, k\in Z\right)$.

Ø Giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt:

ü Góc đối nhau (α và – α): cos (– α) = cos α; sin (– α) = – sin α;

                                           tan (– α) = – tan α; cot (– α) = – cot α.

üGóc bù nhau (α và π – α): sin (π – α) = sin α; cos (π – α) = – cos α;

                                             tan (π – α)  = – tan α; cot (π – α)  = – cot α.

ü Góc phụ nhau (α và $\frac{\pi }{2}$ – α): sin $\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$ = cos α; cos $\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$  = sin α;

                                               tan $\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$ = cot α; cot $\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$ = tan α.

ü Góc hơn kém nhau π (α và π + α): sin (π + α) = – sin α; cos (π + α) = – cos α;

                                                         tan (π + α)  = tan α; cot (π + α) = cot α.

* Chú ý: Dấu của giá trị lượng giác α = (OA, OM) phụ thuộc vào vị trí điểm M trên đường tròn lượng giác. Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác như sau:

* Ngoài ra, có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác của góc lượng giác và đổi số đo độ của cung tròn ra radian và ngược lại.

Ví dụ 1.

a) Cho góc lượng giác có số đo bằng $‐\frac{\pi }{4}$. Tính các giá trị lượng giác của góc đã cho.

b) Tính các giá trị lượng giác của góc α, biết $\sin \alpha =\frac{3}{5}$ và 90° < α < 180°.

c) Tính $\cos \left(‐\frac{13\pi }{4}\right)$  và cot (– 315°).

Hướng dẫn giải

a) Ta có: cos $\frac{‐\pi }{4}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$; sin $\frac{‐\pi }{4}$ = $\frac{‐\sqrt{2}}{2}$  .

Suy ra tan $\frac{‐\pi }{4}$= $\frac{\sin \left({\displaystyle \frac{‐\pi }{4}}\right)}{\cos \left({\displaystyle \frac{‐\pi }{4}}\right)}=‐1$ ;cot $\frac{‐\pi }{4}$ = $\frac{\cos \left({\displaystyle \frac{‐\pi }{4}}\right)}{\sin \left({\displaystyle \frac{‐\pi }{4}}\right)}=‐1$.

b) Ta có: sin2 α + cos2 α = 1 ⇔ cos2 α = 1 – sin2 α.

⇒ cos α = $\pm \sqrt{1-{\sin }^2 \alpha }$ = $\pm \sqrt{1-\frac{9}{25}}$ = $\pm \frac{4}{5}.$

Vì 90° < α < 180° nên cos α < 0.

Suy ra $\cos \alpha =\frac{‐4}{5}$.

Hơn nữa, tan α = $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{{\displaystyle \frac{3}{5}}}{‐{\displaystyle \frac{4}{5}}}=‐\frac{3}{4}$ và cot α = $\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{‐{\displaystyle \frac{3}{4}}}=‐\frac{4}{3}$.

Ví dụ 2. Sử dụng máy tính cầm tay tính các góc lượng giác sau: sin 35°15'33''; tan (– 205°); $\cos \left(‐\frac{9\pi }{7}\right)$ ; $cot\left(\frac{2\pi }{5}\right)$

Hướng dẫn giải

· Để tính sin 35°15'33''; tan (– 205°) ta chuyển máy tính sang chế độ “độ” và thực hiện bấm các nút ấn như bảng dưới đây:

Như vậy ta có: sin 35°15'33'' = 0,5772758359; tan (– 205°) = – 0,4663076582.

· Để tính $\cos \left(‐\frac{9\pi }{7}\right)$ ; $cot\left(\frac{2\pi }{5}\right)$  ta chuyển máy tính sang chế độ “radian” và thực hiện bấm các nút ấn như bảng dưới đây:

Như vậy ta có: $\cos \left(‐\frac{9\pi }{7}\right)=0,6234898019$ ; $cot\left(\frac{2\pi }{5}\right)=0,3249196962.$