Lý thuyết Bất phương trình lôgarit

- Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng log_ax > b (hoặc log_ax < b, log_ax ≥ b, log_ax ≤ b) với a > 0, a ≠ 1.

- Xét bất phương trình dạng log_ax > b:

+ Nếu a > 1 thì nghiệm của bất phương trình là x > a^b.

+ Nếu 0 < a < 1 thì nghiệm của bất phương trình là 0 < x < a^b.

- Các bất phương trình lôgarit cơ bản còn lại giải tương tự.

- Nếu a > 1 thì log_au > log_av ⇔ u > v > 0.

- Nếu 0 < a < 1 thì log_au > log_av ⇔ 0 < u < v.

Nếu u, v > 0 và 0 < a ≠ 1 thì log_au = log_av ⇔ u = v.

Ví dụ 1. Giải bất phương trình: 1 + log3x < 4.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: 3x > 0 hay x > 0.

Bất phương trình trở thành log3x < 3. Từ đó 3x < 10³ hay x < $\frac{{10}^3}{3}$ .

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là 0 < x < $\frac{{10}^3}{3}$ .

Ví dụ 2. Giải bất phương trình: log_0,4(2x + 1) ≥ log_0,4(x – 7)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: 2x + 1 > 0 và x – 7 > 0, tức là x > 7.

Vì cơ số 0,4 < 1 nên bất phương trình trở thành 2x + 1 ≤ x – 7 hay x ≤ – 8.

Kết hợp với điều kiện ta được bất phương trình đã cho vô nghiệm.