Lý thuyết Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

1.2. Các xác định góc giữa hai mặt phẳng

+) Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (P) và (Q).

+) Lấy A ∈ (Q), dựng AB ^ (P) (B Î (P)).

+) Vẽ BH ^ d thì AH ^ d.

Vậy $\widehat{AHB}=\alpha \left(0<\alpha <90°\right)$  là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

1.3. Một số dạng hay gặp

Dạng 1: Góc giữa mặt bên và mặt đáy

Phương pháp giải

Tính góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng đáy (ABC).

+) Dựng đường cao SH ^ (ABC), dựng HE ^ AB.

+) Khi đó AB ^ (SEH).

Suy ra góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng đáy (ABC) là $\widehat{SEH}$ .

Dạng 2: Góc giữa hai mặt bên

Phương pháp giải

Tính góc giữa hai mặt bên (SAC) và (SBC)

Cách 1: Tính góc giữa hai đường thẳng a và b lần lượt vuông góc với mặt phẳng (SAC) và (SBC).

Cách 2: Dựng đường cao SH ^ (ABC).

Lấy điểm M bất kì thuộc AC, dựng MN ^ HC.

Lại có MN ^ SH ⇒ MN ^ (SHC) ⇒ MN ^ SC.

Dựng MK ^ SC ⇒ SC ^ (MKN).

Suy ra góc giữa hai mặt bên (SAC) và (SBC) bằng góc giữa hai đường thẳng MK và KN.

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt đáy. Xác định góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD).

Hướng dẫn giải:

Do ABCD là hình vuông nên CD ^ AD (1).

Mà SA ^ (ABCD) nên CD ^ SA (2).

Từ (1) và (2), suy ra CD ^ (SAD) ⇒ CD ^ SD.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng AD và SD.

Mà (AD, SD) = $\widehat{SDA}$ .

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng $\widehat{SDA}$ .

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = AC = a; cạnh bên SA = a và vuông góc với đáy. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).

Hướng dẫn giải:

Vì SA ^ (ABC) ⇒ SA ^ AB mà AB ^ AC ⇒ AB ^ (SAC).

Kẻ AH ^ SC tại H.

Vì AB ^ (SAC) ⇒ AB ^ SC mà AH ^ SC ⇒ SC ^ (ABH) ⇒ SC ^ BH.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) chính là góc giữa hai đường thẳng AH và BH.

Mà (AH, BH) = $\widehat{AHB}$ .

Xét ∆SAC vuông tại A có

$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{C}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{2}{a^2} \Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Vì AB ^ (SAC) ⇒ AB ^ AH.

Xét ∆ABH vuông tại A, có $BH=\sqrt{A{B}^2+A{H}^2}=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$ .

$cos\widehat{AHB}=\frac{AH}{BH}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a\sqrt{6}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$