Lý thuyết Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân

Cho cấp số nhân (u_n) với công bội q ≠ 1.

Khi đó tổng n số hạng đầu tiên được tính theo công thức: $S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}$ .

Ví dụ 1. Cho dãy số (u_n) xác định bởi $u_n=4^{\frac{n}{2}+2}$. Tính tổng S = u₂ + u₄ + u₆ + ..+ u₁₄.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{4^{\frac{n+1}{2}+2}}{4^{\frac{n}{2}+2}}=2$  ∀n.

Þ Dãy số (u_n ) là cấp số nhân với u₁ = 32 và công bội q = 2.

Các số u₂; u₄; u₆; ...; u₁₄ lập thành cấp số nhân có số hạng đầu u₂ = u₁ . q = 64 và công bội q' = 2q = 4.

Tổng của 7 số hạng u₂; u₄; ...; u₁₄ là: $S=64\cdot \frac{1-4^7}{1-4}=349504$ .

Ví dụ 2. Cho cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ 7 gấp 243 lần số hạng thứ hai. Tìm số hạng còn lại của cấp số nhân đó.

Hướng dẫn giải:

Gọi cấp số nhân đó là (u_n) với  $n=\overline{1;7}$.

Theo đề bài, ta có: $\left\{\begin{array}{c}{u}_4=6\\ u_7=243u_2\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}{u}_1{q}^3=6\left(1\right)\\ u_1{q}^6=243u_1.q\left(2\right)\end{array}\right.\right.$

Từ (2) ta có: ${\text{u}}_1\cdot {\text{q}}^6-243\cdot {\text{u}}_1\cdot \text{q}=0$

$\iff {\text{u}}_1\text{q}\cdot \left({\text{q}}^5-243\right)=0\Rightarrow {\text{q}}^5-243=0$

$\Rightarrow$q= 3. Thay vào (1) ta được: ${\text{u}}_1\cdot 3^3=6\iff {\text{u}}_1=\frac{2}{9}$

Do đó các số hạng còn lại của cấp số nhân là

$u_1=\frac{2}{9};u_2=\frac{2}{3};u_3=2;u_5=18;u_6=54;u_7=162$.