Lý thuyết Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta dựng đoạn vuông góc chung MN của a và b. Khi đó d(a, b) = MN. Sau đây là một số cách dựng đoạn vuông góc chung thường dùng:

Ÿ Phương pháp 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa đường thẳng D và song song với D'. Khi đó d(D, D') = d(D', (α)).

Ÿ Phương pháp 2: Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm.

Ÿ Phương pháp 3: Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó.

- Trường hợp 1:  D và D' vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau.

Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa D' và vuông góc với D tại I.

Bước 2: Trong mặt phẳng (α) kẻ IJ ^ D'.

Khi đó IJ là đoạn vuông góc chung và d(D, D') = IJ.

- Trường hợp 2:  D và D' vừa chéo nhau và không vuông góc với nhau.

Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa D' và song song với D.

Bước 2: Dựng d là hình chiếu vuông góc của D xuống (α) bằng cách lấy điểm MÎ D dựng đoạn MN ^ (α), lúc đó d là đường thẳng đi qua N và song song với D.

Bước 3: Gọi H = d Ç D', dựng HK // MN.

Khi đó HK là đoạn vuông góc chung và d(D, D') = HK = MN.

Hoặc

Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) ^ D tại I.

Bước 2: Tìm hình chiếu d của D' xuống mặt phẳng (α).

Bước 3: Trong mặt phẳng (α), dựng IJ ^ d, từ J dựng đường thẳng song song với D cắt D' tại H, từ H dựng HM // IJ.

Khi đó HM là đoạn vuông góc chung và d(D, D') = HM = IJ.

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông ABCD tâm O cạnh $a\sqrt{2}$ , cạnh SA=$a\sqrt{2}$ và vuông góc mặt đáy.

a) Tính khoảng cách giữa BC và SD.

b) Tính khoảng cách giữa SC và AD.

Hướng dẫn giải:

a) Vì SA ^ (ABCD) Þ SA ^ CD.

Do ABCD là hình vuông nên CD ^ AD.

Có $\left\{\begin{array}{l}CD\perp SA\\ CD\perp AD\\ SA\cap AD=A\end{array}\right.\Rightarrow CD\perp \left(SAD\right)\Rightarrow CD\perp SD\subset \left(SAD\right)$ .

Ta có: CD ^ SD tại D, CD ^ BC tại C.

Þ CD là đoạn vuông góc chung của SD và BC.

Þ d(SD, BC) = CD = 2a.

b) Vì AD // BC mà BC Ì (SBC) Þ AD // (SBC).

Do đó d(AD, SC) = d(AD, (SBC)) = d(A, (SBC)).

Kẻ AH ^ SB tại H.

Có SA ^ (ABCD) Þ SA ^ BC mà BC ^ AB Þ BC ^ (SAB) Þ BC ^ AH.

Lại có AH ^ SB nên AH ^ (SBC).

Do đó d(A, (SBC)) = AH.

Xét DSAB vuông tại A, có $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{B}^2}=\frac{1}{2a^2}+\frac{1}{2a^2}=\frac{1}{a^2}\Rightarrow AH=a$ .

Vậy d(SC, AD) = a.

Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh bằng a, góc .

a) Tính khoảng cách giữa BD và CC'.

b) Tính khoảng cách giữa AC và BD'.

Hướng dẫn giải:

a) Gọi O là tâm của hình thoi ABCD.

Vì ABCD là hình thoi nên O là trung điểm của AC, BD và AC ^ BD.

Xét DABD có BD² = AB² + AD² – 2AB.AD.cos120° = 3a²

Þ $BD=a\sqrt{3}\Rightarrow BO=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Xét DAOB vuông tại O, có $AO=\sqrt{A{B}^2-B{O}^2}=\sqrt{a^2-\frac{3a^2}{4}}=\frac{a}{2}$  Þ AC = a.

Vì CC' ^ (ABCD) Þ CC' ^ CO mà CO ^ BD nên CO là đoạn vuông góc chung của BD và CC'.

Do đó d(BD, CC') = CO = AO = $\frac{a}{2}$ .

b) Trong (BDD'B') kẻ OE ^ BD' tại E (1).

Vì AC ^ BD và AC ^ DD' (DD' ^ (ABCD)) Þ AC ^ (BDD'B') Þ AC ^ OE (2).

Từ (1) và (2), suy ra OE là đoạn vuông góc chung của AC và BD'.

Do đó d(AC, BD') = OE.

Mà OE = d(O, BD') = $\frac{1}{2}d\left(D,B{D}^{\text{'}}\right)$ .                      

Gọi h là khoảng cách từ D đến BD'.

Xét DD'DB vuông tại D, có $\frac{1}{h^2}=\frac{1}{D{D^{\text{'}}}^2}+\frac{1}{D{B}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{3a^2}=\frac{4}{3a^2}\Rightarrow h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Vậy d(AC, BD') = $\frac{a\sqrt{3}}{4}$ .