Lý thuyết So sánh các biểu thức chứa lũy thừa

* Phương pháp: Để so sánh các biểu thức chứa lũy thừa, ta cần thực hiện các bước như sau:

Bước 1: Đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc số mũ (nếu có thể).

Bước 2: Tính toán, rút gọn các biểu thức đã cho bằng cách sử dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên, hữu tỉ và số thực.

Bước 3: So sánh giá trị các biểu thức đã rút gọn dựa vào tính chất về so sánh hai lũy thừa.

* Một số tính chất cần lưu ý:

Ø Hai lũy thừa cùng cơ số: Cho a, α, β là ba số thực ta có:

ü Với a > 1 thì a^α > a^β ⇔ α > β;

ü Với 0 < a < 1 thì a^α > a^β ⇔ α < β.

Ø Hai lũy thừa cùng số mũ: Cho 0 < a < b, α là một số thực ta có:

a^α < b^α ⇔ α > 0;                          a^α > b^α ⇔ α < 0.

Ví dụ 1. So sánh các số sau:

a) 7¹⁰⁰ và 7²⁰⁰;

b) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}$ và ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{11}$ .

Hướng dẫn giải

a) Do 7 > 1 và 200 > 100 nên 7²⁰⁰ > 7¹⁰⁰.

b) Do $0<\frac{1}{2}<1$ và 11 > 10 nên ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{11}<{\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}.$

Ví dụ 2. So sánh các số sau:

a) π^–2024 và 3,14^–2024;

b) $\frac{1}{3^{400}}$ và $\frac{1}{4^{300}}.$

Hướng dẫn giải

a) Do 0 < 3,14 < π và –2024 < 0 nên 3,14^–2024 > π^–2024.

b) Ta có: $\frac{1}{3^{400}}={\left(\frac{1}{3^4}\right)}^{100}={\left(\frac{1}{81}\right)}^{100}$  và $\frac{1}{4^{300}}={\left(\frac{1}{4^3}\right)}^{100}={\left(\frac{1}{64}\right)}^{100}.$

Do $0<\frac{1}{81}<\frac{1}{64}$  và 100 > 0 nên ${\left(\frac{1}{81}\right)}^{100}<{\left(\frac{1}{64}\right)}^{100}\iff \frac{1}{3^{400}}<\frac{1}{4^{300}}.$