Lý thuyết Vận dụng các phép toán giới hạn để tìm giới hạn của dãy số hạng chứa lũy thừa

- Các tính chất của giới hạn:

 $\underset{n\to +\infty }{\lim }{n}^k=+\infty$ với k là số nguyên dương.

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{q}^n=+\infty$ với q > 1.

+ $\underset{n\to +\infty }{\lim }{q}^n=0$ với 0 < q < 1.

+ Nếu$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=a$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=+\infty$ (hoặc –∞) thì $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n}=0$.

+ Nếu $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=a>0$ , $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=0$ và v_n > 0 với mọi n thì $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n}=+\infty$.

+ Nếu $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=+\infty$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=a>0$ thì $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n{v}_n=+\infty$.

+ Nếu $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=a$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=b$ thì

• $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n+v_n\right)=a+b$;

• $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n-v_n\right)=a-b$;

• $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n.v_n\right)=a.b$;

• $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\frac{u_n}{v_n}\right)=\frac{a}{b}$ (nếu b ≠ 0).

+ Nếu u_n ≥ 0 với mọi n và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=a$ thì

a ≥ 0 và $\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt{u_n}=\sqrt{a}$.

- Cách giải bài tập dạng toán tìm giới hạn của dãy số hạng chứa lũy thừa thường là chia quy biểu thức về dạng hàm số của số hạng có lũy thừa lớn nhất, sau đó áp dũng các tính chất để xác định giới hạn.

Ví dụ 1. Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(n^3+n^2+1\right)$.

Hướng dẫn giải:  $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(n^3+n^2+1\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left[n^3\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^3}\right)\right]=+\infty$