Lý thuyết Tính giá trị của lôgarit và giá trị của biểu thức số có chứa lôgarit

*Phương pháp: Để tính giá trị của lôgarit và giá trị của biểu thức số có chứa lôgarit, ta sử dụng các tính chất và công thức biến đổi của lôgarit.

* Một số kiến thức cần lưu ý:

Ø Tính chất của lôgarit: Cho hai số dương a, b với a ≠ 1.

ü log_a 1 = 0; log_a a = 1;

ü$a^{{\log }_{a}M}=M$; log_a a^α = α.

Ø Quy tắc tính lôgarit: Cho các số dương a, M, N với a ≠ 1.

ü log_a (MN) = log_a M + log_a N (Tích – tổng);

ü ${\log }_a\left(\frac{M}{N}\right)$ = log_a M – log_a N (Thương – hiệu);

ü log_aM^α = αlog_aM.

Ø Công thức biến đổi cơ số: Cho các số dương a, b, M với a ≠ 1 và b ≠ 1.

ü${\log }_{a}M=\frac{{\log }_{b}M}{{\log }_{b}a};$

ü ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$ ;

ü ${\log }_{a^{\alpha }}b=\frac{1}{\alpha }{\log }_{a}b$ .

Ø Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên.

ü Lôgarit cơ số 10 của một số dương M gọi là lôgarit thập phân: log₁₀M (M > 0) được viết là logM hoặc lgM.

ü Lôgarit cơ số e của một số dương N gọi là lôgarit tự nhiên: log_eN (N > 0) được viết là lnN.

* Chú ý: Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên là trường hợp đặc biệt của lôgarit thông thường ở trên nên nó có đầy đủ tính chất, quy tắc tính của lôgarit thông thường.

Ví dụ 1. Tính:

a) ${\log }_5\sqrt[3]{5};$

b) $4^{{\log }_{2}3}$ ;

c) log(0,001).

Hướng dẫn giải

a) Ta có: ${\log }_5\sqrt[3]{5}={\log }_5{5}^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}.$

b) Ta có: $4^{{\log }_{2}3}={\left(2^2\right)}^{{\log }_{2}3}={\left(2^{{\log }_{2}3}\right)}^2=3^2=9.$

c) Ta có: log(0,001) = log10^–3 = –3.

Ví dụ 2. Tính giá trị của các biểu thức:

a) $A=\ln \left(\sqrt{5}+2\right)+\ln \left(\sqrt{5}-2\right)$ ;

b) B = log200 – log2.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $A=\ln \left(\sqrt{5}+2\right)+\ln \left(\sqrt{5}-2\right)=\ln \left[\left(\sqrt{5}+2\right).\left(\sqrt{5}-2\right)\right]$

                   = ln(5 – 4) = ln1 = 0.

b) Ta có: B = log200 – log2 = $\log \frac{200}{2}$  = log100 = log 10² = 2.