Lý thuyết Sử dụng các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số và đạo hàm của hàm số hợp

a) Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số

Giả sử f = f(x), g = g(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định ta có:

ü (f + g)' = f' + g'.

ü (f – g)' = f' – g'.

ü (fg)' = f'g + fg'.

ü  ${\left(\frac{\text{f}}{\text{g}}\right)}^{\text{'}}=\frac{-}{{\text{g}}^{\text{2}}}$ (g = g(x) ≠ 0).

Chú ý: Quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu có thể áp dụng cho tổng, hiệu của hai hay nhiều hàm số.

Hệ quả: Cho f = f(x) là hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.

+ Nếu c là một hằng số thì (cf)' = cf'.

+ ${\left(\frac{\text{1}}{\text{f}}\right)}^{\text{'}}=-\frac{f\text{'}}{{\text{f}}^{\text{2}}}$  (f = f(x) ≠ 0).

b) Đạo hàm của hàm số hợp

- Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là u'_x và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là y'_u thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là y'_x = y'_u . u'_x.

- Một số công thức đạo hàm của hàm hợp (ở đây u = u(x), giả sử các hàm số đều có nghĩa):

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số y = 7x⁴ + 2x³ – 2x.

Hướng dẫn giải:

Ta có y'(x) = (7x⁴)' + (2x³)' – (2x)' = 28x³ + 6x² – 2.

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số $\text{y}=\frac{\text{x}-1}{\text{x}+3}$ .

Hướng dẫn giải:

Với mọi x ≠ – 3, ta có:

y'(x) = ${\left(\frac{\text{x}-1}{\text{x}+3}\right)}^{\text{'}}=\frac{(\text{x}-1{)}^{\text{'}}(\text{x}+3)-(\text{x}-1\left)\right(\text{x}+3{)}^{\text{'}}}{{(\text{x}+3)}^2}=\frac{\text{x}+3-(\text{x}-1)}{{(\text{x}+3)}^2}=\frac{4}{{(\text{x}+3)}^2}$ .