Lý thuyết Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng

Áp dụng các tính chất:

- Tính chất 1:

+ Cho hai đường thẳng song song. Nếu có một mặt phẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng thì mặt phẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.

+ Ngược lại, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng nào đó thì hai đường thẳng này song song với nhau.

- Tính chất 2:

+ Cho hai mặt phẳng song song với nhau, nếu có một đường thẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng còn lại.

+ Ngược lại, nếu có hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng bất kì thì hai mặt phẳng đó song song với nhau.

- Tính chất 3:

+ Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α) cho trước. Nếu có một đường thẳng b nào đó vuông góc với mặt phẳng (α) thì đường thẳng b cũng vuông góc với a.

+ Ngược lại, nếu có một đường thẳng và một mặt phẳng (đường thẳng không thuộc mặt phẳng) và cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng sẽ song song với nhau.

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA ⊥ (ABCD). Mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD theo thứ tự tại H, M, K. Chứng minh rằng AK không vuông góc với HK.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}BD\perp AC\\ BD\perp SA\end{array}\right.\Rightarrow BD\perp \left(SAC\right)\Rightarrow BD\perp AM$.

Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của SO và HK.

(P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC

Qua I kẻ ∆ // BC, do đó, ∆ vuông góc với AM.

Do đó, ∆ thuộc (P).

Khi đó, K là giao điểm của ∆ với SD, H là giao điểm của ∆ với SB

Ta có:

AK vuông góc với (SCD) nên AK vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mp(SCD).

Mà HK giao (SCD) tại K nên HK không nằm trong mp(SCD).

Do đó, AK không vuông góc với HK.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi AE, AF lần lượt là đường cao của tam giác SAB và tam giác SAD. Chứng minh SC ⊥ (AEF).

Hướng dẫn giải

Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA ⊥ BC

Mà AB ⊥ BC nên suy ra: BC ⊥ (SAB)

⇒ BC vuông góc với AE, AE thuộc (SAB)

Tam giác SAB có đường cao AE

⇒ AE ⊥ SB

Mà AE ⊥ BC

Nên AE ⊥ (SBC) ⇒ AE ⊥ SC

Tương tự, ta chứng minh được AF ⊥ SC. Do đó, SC ⊥ (AEF).