Lý thuyết Bài toán thực tiễn liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit

Áp dụng các công thức lãi đơn, công thức lãi kép, tiền gửi hàng tháng, gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng, vay vốn trả góp, bài toán tăng lương, lãi kép liên tục,…

a) Bài toán lãi đơn: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r% /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n Î ℕ*) là:

                                           $\boxed{S_n=A+nAr=A\left(1+nr\right)}$                                      

b) Bài toán lãi kép: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r% /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n Î ℕ*) là:

                                                   $\boxed{S_n=A{\left(1+r\right)}^n}$                                              

Từ công thức trên ta có thể tính được:

$n={\log }_{\left(1+r\right)}\left(\frac{S_n}{A}\right)$              $r\%=\sqrt[n]{\frac{S_n}{A}}-1$                  $A=\frac{S_n}{{\left(1+r\right)}^n}$         

c) Vay vốn trả góp: Vay ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r%/tháng. Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi lần hoàn nợ số tiền là X đồng và trả hết tiền nợ sau đúng n tháng.

Cách tính số tiền còn lại sau n tháng giống hoàn toàn công thức tính gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng nên ta có

$S_n=A{\left(1+r\right)}^n-X\frac{{\left(1+r\right)}^n-1}{r}$

Để sau đúng n tháng trả hết nợ thì S_n = 0 nên $A{\left(1+r\right)}^n-X\frac{{\left(1+r\right)}^n-1}{r}=0$ .   

d) Bài toán tăng lương: Một người được lãnh lương khởi điểm là A đồng/tháng. Cứ sau n tháng thì lương người đó được tăng thêm r%/tháng. Hỏi sau kn tháng người đó lĩnh được tất cả số tiền là bao nhiêu?

Tổng số tiền nhận được sau kn tháng là: $S_{kn}=Ak\frac{{\left(1+r\right)}^k-1}{r}$.

Ví dụ 1. Bà Lan gửi 100 triệu vào tài khoản định kỳ tính lãi kép với lãi suất là 8%/năm. Tính số tiền lãi thu được sau 10 năm.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức tính lãi kép, sau 10 năm số tiền cả gốc và lãi bà Lan thu về là:

A.(1+ r)ⁿ = 100.(1 + 0,08)¹⁰ » 215,892 (triệu)

Số tiền lãi bà Lan thu về sau 10 năm là:

A.(1+ r)ⁿ – A = 215,892 – 100 » 115,892 (triệu)

Vậy số tiền lãi bà Lan thu được sau 10 năm là 115,892 triệu.

Ví dụ 2. Tỉ lệ tăng dân số hàng năm của Inđônêsia là 1,5%. Năm 1998, dân số của nước này là 212 942 000 người. Hỏi dân số của Indonesia vào năm 2006 là bao nhiêu? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức lãi kép liên tục: S = A.e^N.r

Với A = 212 942 000; r = 1,5% = 0,015; N = 2006 – 1998 = 8.

Ta có:

S = A.e^N.r = 212 942 000 . e^{8 . 0,015} » 240 091 434,6 (người)

Vậy dân số của Indonesia vào năm 2006 là 240 091 434,6 người.