Lý thuyết Tính đạo hàm cấp hai của một số hàm đơn giản

Giả sử hàm y = f(x) có đạo hàm y' = f'(x) tại mọi điểm x ∈ (a; b). Nếu hàm số y' = f'(x) tiếp tục có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y' tại x là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại x, kí hiệu y'' hoặc f''(x).

Như vậy, để tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x), ta thực hiện như sau:

Bước 1. Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) là y' = f'(x).

Bước 2. Tính đạo hàm của hàm số y' = f'(x) (nếu có). Khi đó, y'' = f''(x) = [f'(x)]'.

Chú ý: Ta cần nắm vững bảng đạo hàm sau

Ví dụ 1. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = 6x⁴ – 9x³ + 24x + 7.

Hướng dẫn giải:

Ta có y'(x) = (6x⁴ – 9x³ + 24x + 7)' = 24x³ – 27x² + 24.

Khi đó, y''(x) = (24x³ – 27x² + 24)'  = 72x² – 54x.

Ví dụ 2. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = $\frac{1}{x-9}$  tại điểm x₀ = 8.

Hướng dẫn giải:

Với mọi x ≠ 9, ta có:  y'(x) = ${\left(\frac{1}{\text{x}-9}\right)}^{\text{'}}=-\frac{(\text{x}-9{)}^{\text{'}}}{{\text{(x}-9)}^2}=-\frac{1}{{\text{(x}-9)}^2}$ .

Khi đó, y''(x) = ${\left[\frac{-1}{{(\text{x}-9)}^2}\right]}^{\text{'}}=\frac{{\left[{(\text{x}-9)}^2\right]}^{\text{'}}}{{(\text{x}-9)}^4}=\frac{2\left(\text{x}-9\right)}{{(\text{x}-9)}^4}=\frac{2}{{(\text{x}-9)}^3}$ .

Vậy y''(8) = $\frac{2}{{(8-9)}^3}=-2$ .