Lý thuyết Xác định ảnh của một điểm, một đoạn thẳng, một tam giác, một đường tròn, … qua phép chiếu song song

Xác định ảnh của một điểm qua phép chiếu song song

Cho điểm M trong không gian và mặt phẳng (P), đường thẳng Δ cắt (P). Khi đó, ảnh của điểm M qua phép chiếu song song theo phương D là điểm M' nằm trên mặt phẳng (P) được xác định:

+ Vẽ đường thẳng đi qua điểm M và song song với phương chiếu Δ.

+ Đường thẳng này cắt mặt phẳng (P) tại điểm M'.

+ M' là ảnh của điểm M trên (P) qua phép chiếu song song.

Xác định ảnh của một đoạn thẳng qua phép chiếu song song

Cho đoạn thẳng AB trong không gian và mặt phẳng (P), đường thẳng Δ cắt (P). Khi đó, ảnh của đoạn thẳng AB trên (P) qua phép chiếu song song theo phương D là đoạn thẳng A'B'  với:

+ A¢, B¢ là ảnh được xác định qua phép chiếu song song của A, B trên mặt phẳng (P) theo phương chiếu  D.

Xác định ảnh của một tam giác qua phép chiếu song song

Cho tam giác ABC trong không gian và mặt phẳng (P), đường thẳng Δ cắt (P). Khi đó, ảnh của tam giác ABC trên (P) qua phép chiếu song song theo phương D là tam giác A'B'C' với:

+ A¢, B¢, C¢ là ảnh được xác định qua phép chiếu song song của A, B, C trên mặt phẳng (P) theo phương chiếu D.

Xác định ảnh của một đường tròn qua phép chiếu song song

Cho đường tròn (O) trong không gian, M Î (O) và mặt phẳng (P), đường thẳng Δ cắt (P). Khi đó, ảnh của đường tròn (O) trên (P) qua phép chiếu song song theo phương D là quỹ tích của điểm M¢ với:

+ M¢ là ảnh được xác định qua phép chiếu song song của M trên mặt phẳng (P) theo phương chiếu D khi M di chuyển trên (O).

Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, M là trung điểm SC, N Î SA, H là hình chiếu của M trên AC. Xác định ảnh của điểm M lên mặt phẳng đáy theo phương SA.

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết: M là trung điểm SC, O là trung điểm của AC nên MO là đường trung bình của tam giác SAC.

Do đó, MO // SA;

Lại có MO Ç (ABCD) = O.

Þ O là ảnh của M lên mặt phẳng (ABCD) qua phép chiếu song song theo phương SA.

Ví dụ 2. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, M là trung điểm SC, N Î SA, H là hình chiếu của M trên AC. Xác định ảnh của đoạn thẳng MN lên mặt phẳng đáy theo phương SA.

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết: M là trung điểm SC, O là trung điểm của AC nên MO là đường trung bình của tam giác SAC.

Do đó, MO // SA;

Lại có MO Ç (ABCD) = O.

Þ O là ảnh của M lên mặt phẳng (ABCD) qua phép chiếu song song theo phương SA.

Điểm S nằm trên phương SA, ta suy ra ảnh của S theo phương SA là giao điểm của SA và mặt phẳng (ABCD).

Þ A là ảnh của S lên mặt phẳng (ABCD) qua phép chiếu song song theo phương SA.

Từ chứng minh trên, ta kết luận OA là ảnh của đoạn thẳng MN lên (ABCD) qua phép chiếu song song theo phương SA.