Lý thuyết Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng

Cho cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu là u₁; công sai là d. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: $S_n=\frac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}$.

Ngoài ra, ta còn có 1 cách tính khác là: $S_n=\frac{n\left[2u_1+(n-1)d\right]}{2}$.

Chú ý: Cho dãy số (u_n) là cấp số cộng có công sai d.

Cho x và y là hai số hạng của cấp số cộng.

Khi đó từ x đến y có số số hạng là: $\frac{y-x}{d}+1$ .

Ví dụ 1. Cho cấp số cộng (u_n) có u₅ = −10 và u₁₅ = 60. Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\left\{\begin{array}{c}{u}_5=u_1+4d\\ u_{15}=u_1+14d\end{array}\right.$.

Theo giả thiết ta có:  $\left\{\begin{array}{c}-10=u_1+4d\\ 60=u_1+14d\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}{u}_1=-38\\ d=7\end{array}\right.\right.$.

Tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: 

$S_{20}=\frac{20\cdot [2\cdot (-38)+(20-1)\cdot 7]}{2}=570$.

Ví dụ 2. Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn: $\left\{\begin{array}{c}{u}_5+3u_3-u_2=-21\\ 3u_7-2u_4=-34\end{array}\right.$.

Tổng S = u₅ + u₆ + …+ u₃₀ = ?

Hướng dẫn giải:

Từ giả thiết bài toán, ta có:

$\left\{\begin{array}{c}{u}_1+4d+3\left(u_1+2d\right)-\left(u_1+d\right)=-21\\ 3\left(u_1+6d\right)-2\left(u_1+3d\right)=-34\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}3u_1+9d=-21\\ u_1+12d=-34\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}{u}_1=2\\ d=-3.\end{array}\right.\right.$

Ta có: u₅; u₆; ...; u₃₀ là cấp số cộng có 26 số hạng; số hạng đầu là

u₅ = 2 + 4.(–3) = –10; công sai d = –3.

Vậy tổng $S=\frac{26\cdot [2\cdot (-10)+25\cdot (-3\left)\right]}{2}=-1235$.