Lý thuyết Tính đạo hàm bằng định nghĩa (tại một điểm và trên một khoảng)

- Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm x₀ ∈ (a; b). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn $\underset{\text{x}\to {\text{x}}_0}{\lim }\frac{\text{f}\left(\text{x}\right)-\text{f}\left({\text{x}}_{\text{0}}\right)}{\text{x}-{\text{x}}_{\text{0}}}$  thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x₀ và được kí hiệu f'(x₀) hoặc ${\text{y'}}_{{\text{x}}_{\text{0}}}$ .

- Để tính đạo hàm f'(x₀) của hàm số y = f(x) tại x₀, ta thực hiện ba bước sau:

+ Bước 1: Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x₀. Tính ∆y = f(x₀ + ∆x) – f(x₀).

+ Bước 2: Rút gọn tỉ số $\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}$ .

+ Bước 3: Tính $\underset{\text{Δx}\to 0}{\lim }\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}$ .

Kết luận nếu $\underset{\text{Δx}\to 0}{\lim }\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\text{a}$  thì f'(x₀) = a.

- Ngoài cách trên, để tính đạo hàm f'(x₀) của hàm số y = f(x) tại x₀ ∈ (a; b) ta có thể thực hiện như sau:

+ Bước 1: Tính f(x) – f(x₀).

+ Bước 2: Lập và rút gọn tỉ số $\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$  với x ∈ (a; b), x ≠ x₀.

+ Bước 3: Tìm giới hạn $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ .

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số $\text{f(x)}=\frac{\text{1}}{\text{x}}$  tại x₀ = 1 bằng định nghĩa.

Hướng dẫn giải:

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x₀ = 1.

Ta có ∆y = f(1 + ∆x) – f(1) = $\frac{\text{1}}{\text{1 + }\Delta \text{x}}-1=\frac{-\Delta x}{\text{1 + }\Delta \text{x}}$ .

Suy ra $\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\frac{-1}{1+\Delta \text{x}}$ .

Ta thấy $\underset{\text{Δx}\to 0}{\lim }\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\underset{\Delta \text{x}\to 0}{\lim }\frac{-1}{1+\Delta \text{x}}=\frac{-1}{1}=-1$ .

Vậy f'(1) = –1.

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x – 3 tại x₀ = 5 bằng định nghĩa.

Hướng dẫn giải:

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x₀ = 5.

Ta có ∆y = f(5 + ∆x) – f(5) = 2 + ∆x  – 2 = ∆x.

Suy ra $\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=1$ .

Ta thấy $\underset{\text{Δx}\to 0}{\lim }\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\underset{\Delta \text{x}\to 0}{\lim }1=1$ .

Vậy f'(5) = 1.

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) = x² + 2x tại điểm x₀ = 1.

Hướng dẫn giải:

Ta có: f(x) – f(1) = x² + 2x – 3 = x² – 1 + 2x – 2 = (x – 1)(x + 3).

Với x ≠ 1, $\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\frac{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}{x-1}=x+3$ .

Tính giới hạn: $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\left(x+3\right)=1+3=4$ .

Vậy f'(1) = 4.