Lý thuyết Thiết lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị

- Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm M₀ (x₀; f(x₀)).

- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M₀ (x₀; f(x₀)) là:

y = f'(x₀)(x – x₀) + f(x₀).

Chú ý

Hai đường thẳng y = ax + b và y = a'x + b:

+ Song song với nhau khi a = a', b ≠ b;

+ Vuông góc với nhau khi a ∙ a' = – 1.

Ví dụ 1. Cho hàm số y = 3x² – 2 có đồ thị (C). Xác định hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1.

Hướng dẫn giải:

Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1 có hệ số góc là:

$\text{f'}\left(\text{1}\right)=\underset{\text{x}\to \text{1}}{\text{lim}}\frac{\text{f}\left(\text{x}\right)-\text{f}\left(\text{1}\right)}{\text{x}-1}=\underset{\text{x}\to 1}{\lim }\frac{3{\text{x}}^2-2-1}{\text{x}-1}=\underset{\text{x}\to 1}{\lim }3(\text{x}+1)=6$.

Ví dụ 2. Cho hàm số y = x² + 1 có đồ thị hàm số (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(3; 10).

Hướng dẫn giải:

Nhận thấy điểm A(3; 10) thuộc đồ thị hàm số (C).

Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(3; 10) có hệ số góc là:

$\text{f'}\left(3\right)=\underset{\text{x}\to 3}{\text{lim}}\frac{\text{f}\left(\text{x}\right)-\text{f}\left(3\right)}{\text{x}-3}=\underset{\text{x}\to 3}{\lim }\frac{{\text{x}}^2+1-10}{\text{x}-3}=\underset{\text{x}\to 3}{\lim }\text{(x}+3)=6$.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(3; 10) là:

y = 6(x – 3) + 10 hay y = 6x – 8.