Lý thuyết Giải quyết một số vấn đề thực tiễn liên quan đến cấp số nhân

Ở dạng bài này, các bài toán thường yêu cầu sử dụng cấp số nhân để trả lời các yêu cầu liên quan đến lãi suất ngân hàng, bài toán chăn nuôi, bài toán dân số, tiền lương, …

Ta sử dụng các kiến thức đã học về cấp số nhân để xử lý các yêu cầu của bài toán:

• Số hạng tổng quát: u_n = u_{n –1} . q = u₁ . q^{n – 1}.

• Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân: $S_n=\frac{u_1.\left(1-q^n\right)}{1-q}$ .

Ví dụ 1. Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày (nghĩa là sau 138 ngày khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn một nửa). Tính (chính xác đến hàng phần trăm) khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau 7 314 ngày (khoảng 20 năm).

Hướng dẫn giải:

Kí hiệu u_n (gam) là khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau n chu kì án rã.

Ta có 7314 ngày gồm 53 chu kì bán rã. Theo đề bài ra, ta cần tính u₅₃.

Từ giả thiết suy ra dãy (u_n) là một cấp số nhân với số hạng đầu là $u_1=\frac{20}{2}=10$ và công bội q = 0,5.

Do đó $u_{53}=10\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{52}\approx 2,22\cdot {10}^{-15}$.

Ví dụ 2. Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nữa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 12 288 m²). Tính diện tích mặt trên cùng.

Hướng dẫn giải:

Diện tích bề mặt của mỗi tầng (kể từ tầng 1) lập thành một cấp số nhân có công bội $q=\frac{1}{2}\text{ và }{u}_1=\frac{12288}{2}=6144$ .

Khi đó, diện tích mặt trên cùng là  $u_{11}=u_1{q}^{10}=\frac{6144}{2^{10}}=6$ (m²)

Vậy diện tích mặt trên cùng 6 m².