Lý thuyết Tính xác suất của biến cố hợp của hai biến cố xung khắc bằng cách sử dụng công thức cộng xác suất

a) Biến cố xung khắc

Biến cố A và biến cố B được gọi là xung khắc nếu A và B không đồng thời xảy ra.

Hai biến cố A và B xung khắc khi và chỉ khi A Ç B = Æ.

b) Công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc

Với hai biến cố xung khắc, ta có công thức tính xác suất của biến cố hợp như sau:

Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì P(A È B) = P(A) + P(B).

Ví dụ 1. Trong một hộp có 8 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi trong hộp. Gọi A là biến cố: 'Cả hai viên bi có màu xanh'; B là biến cố: 'Có một viên bi màu xanh và một viên bi màu đỏ'.

a) Tính P(A) và P(B).

b) Tính xác suất để trong hai viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu xanh.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $n\left(\Omega \right)=C_{14}^2=91$; $n\left(A\right)=C_8^2=28$ ; n(B) = 8.6 = 48

Vậy $P\left(A\right)=\frac{28}{91}=\frac{4}{13},$$P\left(B\right)=\frac{48}{91}$.

b) Xét biến cố C: 'Trong hai viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu xanh', nên C là biến cố hợp của A và B.

Do A và B là hai biến cố xung khắc nên $P\left(C\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)=\frac{28}{91}+\frac{48}{91}=\frac{76}{91}$

Vậy $P\left(C\right)=\frac{76}{91}$.

Ví dụ 2. Trong một căn phòng có 36 người, trong đó có 25 người họ Nguyễn và 11 người họ Trần. Chọn ngẫu nhiên hai người trong phòng đó. Tính xác suất để hai người được chọn có cùng họ.

Hướng dẫn giải:

Xét các biến cố sau:

A: 'Cả hai người được chọn đều họ Nguyễn'; B: 'Cả hai người được chọn đều họ Trần'.

C: 'Cả hai người được chọn có cùng họ'. Khi đó C là biến cố hợp của A và B.

Do A và B xung khắc nên P(C) = P(A È B) = P(A) + P(B).

Ta có: $n\left(\Omega \right)=C_{36}^2=630$; $n\left(A\right)=C_{25}^2=300$; $n\left(B\right)=C_{11}^2=55$ .

Suy ra $P\left(A\right)=\frac{300}{630}$ ; $P\left(B\right)=\frac{55}{630}$

Vậy $P\left(C\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)=\frac{300}{630}+\frac{55}{630}=\frac{71}{126}$ .