Lý thuyết Nhận biết, chứng minh dãy số là một cấp số nhân

Cách 1. Chứng minh 'n ≥ 1; u_n+1 = u_n.q trong đó q là một số không đổi.

Cách 2. Nếu u_n ≠ 0 với mọi n thì ta lập tỉ số $T=\frac{u_{n+1}}{u_n}$ .

• T là hằng số thì (u_n) là cấp số nhân có công bội q = T.

• T phụ thuộc vào n thì (u_n) không là cấp số nhân.

Ví dụ 1. Cho dãy số (u_n) xác định bởi: u_n= 2^{2n + 1}. Chứng minh (u_n) là cấp số nhân

Hướng dẫn giải:

Ta có: u_n+1 = 2^{2(n + 1) + 1} = 2^{2n + 3}

Xét tỉ số: $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{2^{2n+3}}{2^{2n+1}}=4$  (không đổi).

Þ Dãy số (u_n) là cấp số nhân với công bội q = 4.

Ví dụ 2. Cho dãy số (u_n) xác định bởi: u_n = (–1)ⁿ.(–3)^{n + 1}. Chứng minh (u_n) là cấp số nhân.

Hướng dẫn giải:

Ta có: u_{n + 1} = (–1)^{n + 1} . (–3)^{n + 1 + 1}  =  (–1)^{n + 1}.(–3)^{n + 2}

Xét tỉ số: $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{{\left(–1\right)}^{n+1}.{\left(–3\right)}^{n+2}}{{\left(–1\right)}^n.{\left(–3\right)}^{n+1}}=3$ (không đổi).

Do đó, dãy số (u_n) là cấp số nhân với công bội q = 3.