Lý thuyết Xác định hình chiếu vuông góc của một điểm, một đường thẳng, một tam giác

- Cách xác định hình chiếu vuông góc của điểm:

Trong không gian cho điểm M và mặt phẳng (α). Điểm H gọi là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (α) nếu H ∈ (α) và MH ⊥ (α).

→ Để tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (α) ta dựng đường thẳng d qua M và vuông góc với mặt phẳng (α) sau đó tìm giao điểm H của d và (α). Nếu M ∈ (α) thì hình chiếu của M là chính nó.

- Cách xác định hình chiếu vuông góc của đường thẳng:

Trong không gian cho mặt phẳng (α) và đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (α). Để tìm hình chiếu vuông góc của d lên (α) ta chọn hai điểm A, B trên d rồi tìm hình chiếu K, H lần lượt của A, B lên (α). Đường thẳng a trong (α) đi qua hai điểm H, K chính là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d lên mặt phẳng (α).

- Cách xác định hình chiếu vuông góc của tam giác:

Trong không gian cho mặt phẳng (α) và ba điểm A, B, C không thẳng hàng, tạo thành một tam giác ABC. Ta tìm hình chiếu M, N, P lần lượt của A, B, C lên (α). Tam giác MNP nằm trên mặt phẳng (α) là hình chiếu của tam giác ABC lên mặt phẳng (α).

Ví dụ 1. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA ⊥ (ABC).

a) Xác định hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABC).

b) Xác định hình chiếu vuông góc của đường thẳng SB lên mặt phẳng (ABC).

c) Xác định hình chiếu vuông góc của tam giác SBC lên mặt phẳng (ABC).

Hướng dẫn giải

a) Vì SA ⊥ (ABC) và A ∈ (ABC) nên A là hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABC).

b) Vì B ∈ (ABC) nên hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng (ABC) là B, hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là A (theo phần a) nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SB lên (ABC) là đường thẳng AB.

c) B, C ∈ (ABC) nên hình chiếu vuông góc của B, C lên mặt phẳng (ABC) lần lượt là B, C. 

Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là A (theo phần a).

Do đó, hình chiếu vuông góc của tam giác SBC lên (ABC) là tam giác ABC.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD, M là trung điểm của SB. Biết SO ⊥ (ABCD).

a) Xác định hình chiếu vuông góc của SM trên mặt phẳng (ABCD).

b) Xác định hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng (SAB).

Hướng dẫn giải

a) Vì SO ⊥ (ABCD) nên dựng đường thẳng d qua M song song với SO thì d ⊥ (ABCD).

Vì S, O, M đều thuộc mặt phẳng (SOB) nên d ⊂ (SOB).

M ∈ SB, d // SO nên d cắt OB. Gọi giao điểm của d và OB là N.

Xét tam giác SOB có:

MN // SO

M là trung điểm của SB

Do đó, N là trung điểm của OB (theo định lí đường trung bình).

Suy ra với N là trung điểm của OB thì MN ⊥ (ABCD) nên N là hình chiếu vuông góc của M lên (ABCD).

Hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là O (vì SO ⊥ (ABCD)).

Vậy hình chiếu vuông góc của SM lên (ABCD) là ON.

b)

Kẻ OK ⊥ AB (K ∈ AB), nối SK, từ O kẻ OH ⊥ SK (H ∈ SK).

Ta có:

SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ AB

OK ⊥ AB (K ∈ AB) (do cách vẽ)

SO, OK ⊂ (SOK)

SO ∩ OK tại O

Do đó, AB ⊥ (SOK)

⇒ AB ⊥ SH (vì OH ∈ (SOK))

Mà: OH ⊥ SK (cách vẽ)

SK, AB ⊂ (SAB); SK ∩ AB tại K

Suy ra: OH ⊥ (SAB).

Vậy H là hình chiếu vuông góc của O lên (SAB).