Lý thuyết Bài toán liên quan đến tính chất của cấp số cộng

Tính chất của cấp số cộng:

Cho (u_n) là cấp số cộng thì ta có $u_k=\frac{u_{k+1}+u_{k-1}}{2}$ với k ³ 2; k Î ℕ.

Nếu ba số a; b; c lập thành cấp số cộng thì c − b = b − a.

Ví dụ 1. Cho a,b và c là 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Chứng minh ba số a² – bc, b² – ac, c² – ab; là cấp số cộng.

Hướng dẫn giải:

Ta chứng minh ba số: a² − bc; b² − ac; c² − ab cũng là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng.

Vì a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên : a + c = 2b.

Ta chứng minh:

a² – bc + c² – ab = 2(b² – ac)

⇔ a² + c² – b(a + c) = 2b² – 2ac

⇔ a² + c² – b.2b = 2b² – 2ac (vì a + c = 2b)

⇔ a² + c² + 2ac = 2b² + 2b²

⇔ (a + c)² = 4b² ⇔ 4b² = 4b² (đúng) Þ Điều phải chứng minh .

Ví dụ 2. Cho ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

Chứng minh: 2(a + b + c)² = 9[a²(b + c) + b²(a + c) + c²(a + b)].

Hướng dẫn giải:

Do a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có: 2b = a + c.

Þ 3b = a + b + c

Ta có:

9[a² (b + c) + b² ( a + c) + c² (a + b)]

= 9[a²(3b – a) + 2b³ + (2b – a)² (a + b)]

= 9[3a²b – a³ + 2b³ + (4b² – 4ab + a²)(a + b)]

= 9(3a²b – a³ +2b3 + 4ab² +4b³ – 4a²b – 4ab² + a³ + a²b)

= 9[a²(b + c) + b²(a + c) + c²(a + b)] = 54b³  (1)

Lại có: 2(a + b + c)³ = 2(3b)³ = 54b³   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 2(a + b + c)² = 9[a²(b + c) + b²(a + c) + c²(a + b)].