Lý thuyết Rút gọn biểu thức và chứng minh đẳng thức lượng giác

* Phương pháp: Để rút gọn biểu thức và chứng minh đẳng thức lượng giác ta sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi biểu thức và đẳng thức lượng giác nhằm triệt tiêu các giá trị lượng giác không đặc biệt.

* Các công thức thường sử dụng:

Ø Các hệ thức lượng giác cơ bản:

* Các công thức thường sử dụng:

Ø Các hệ thức lượng giác cơ bản:

*Các hệ thức lượng giác cơ bản:

ü sin2 α + cos2 α = 1;

ü  $1+{\tan }^2 \alpha =\frac{1}{{\cos }^2 \alpha } \left(\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi , K\in Z\right)$

ü  $1+co{t}^2 \alpha =\frac{1}{{\sin }^2 \alpha }$ $\left(a\ne k\pi , k\in Z\right)$;

ü $\tan \alpha .cot \alpha =1 \left(\alpha \ne \frac{\pi }{2}, k\in Z\right)$.

Ø Giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt:

ü Góc đối nhau (α và – α): cos (– α) = cos α; sin (– α) = – sin α;

                                           tan (– α) = – tan α; cot (– α) = – cot α.

üGóc bù nhau (α và π – α): sin (π – α) = sin α; cos (π – α) = – cos α;

                                             tan (π – α)  = – tan α; cot (π – α)  = – cot α.

ü Góc phụ nhau (α và $\frac{\pi }{2}$ – α): sin $\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$ = cos α; cos $\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$  = sin α;

                                               tan $\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$ = cot α; cot $\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$ = tan α.

ü Góc hơn kém nhau π (α và π + α): sin (π + α) = – sin α; cos (π + α) = – cos α;

                                                         tan (π + α)  = tan α; cot (π + α) = cot α.

Ø Một số hệ thức mở rộng:

üVới sin α và cos α xác định với mọi α ∈ ℝ, ta có:

sin (α + k2π) = sin α, ∀k ∈ ℤ.

cos (α + k2π) = cos α, ∀k ∈ ℤ.

ü Với tan α và cot α xác định với mọi  (k ∈ ℤ), ta có:

tan (α + kπ) = tan α, ∀k ∈ ℤ.

cot (α + kπ) = cot α, ∀k ∈ ℤ.

Ví dụ 1. Rút gọn các biểu thức sau:

a) A = cos  + cos (2π – x) + cos (3π + x);

b) B = ${\sin }^2$ x + ${\sin }^2$ x.${\tan }^2$ x;

c) C = (tan x – cot x${)}^2$ – (tan x + cot x${)}^2$.

Hướng dẫn giải

a) A = cos  + cos (2π – x) + cos (3π + x)

        = – sin x + cos (– x) + cos (2π + π + x)

        = – sin x + cos x + cos (π + x)

        = – sin x + cos x – cos x

        = – sin x.

b) B = ${\sin }^2$ x + ${\sin }^2$ x.${\tan }^2$ x = ${\sin }^2$ x(1 + ${\tan }^2$ x)

        = ${\sin }^{2}x.\frac{1}{{\cos }^{2}x}=\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}={\tan }^{2}x$.

c) C = (tan x – cot x${)}^2$ – (tan x + cot x${)}^2$

        = (tan x – cot x + tan x + cot x)(tan x – cot x – tan x – cot x)

        = 2tan x.(– 2cot x) = – 4tan x.cot x = – 4 . 1 = – 4.  

Ví dụ 2. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) ${\cos }^4$ x – ${\sin }^4$ x = 2${\cos }^2$x – 1;

b) $\frac{{\cos }^{2}x+{\tan }^{2}x-1}{{\sin }^{2}x}={\tan }^{2}x$ .

Hướng dẫn giải

a) VT = ${\cos }^4$ x – ${\sin }^4$ x = (${\cos }^2$ x – sin2 x)(${\cos }^2$ x + ${\sin }^2$ x)

                                     = [${\cos }^2$ x – (1 – ${\cos }^2$2x)] . 1 = 2${\cos }^2$ x – 1 = VP.