Lý thuyết Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng

- Hàm số f(x) liên tục trên một khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm x₀ của khoảng đó.

- Hàm số f(x) liên tục trên [a; b] nếu nó liên tục trên (a; b) và $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(a\right)$, $\underset{x\to b^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(b\right)$.

Ví dụ 1 . Xét tính liên tục của hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}x-2\text{ khi }x\in \left(0;3\right)\\ 1\text{ khi }x=3\end{array}\right.$ trên nửa khoảng (0;3].

Hướng dẫn giải:

Ta có f(x) = x – 2, với $x_0\in \left(0;3\right)$ thì $\underset{x\to x_0}{\lim }\left(x-2\right)=x_0-2=f\left(x_0\right)$.

Vì vậy hàm số liên tục trên khoảng (0; 3).

Mà $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=3-2=1=f\left(3\right)$ nên f(x) liên tục trên nửa khoảng (0; 3].

Ví dụ 2. Tìm các khoảng mà trên đó hàm số $f\left(x\right)=\frac{2x^2+3}{4x-2}$ liên tục.

Hướng dẫn giải:

Ta thấy tập xác định của hàm số là $\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{2};+\infty \right)$. Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng $\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)$ và $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$.