Lý thuyết Sử dụng tính chất lũy thừa để biến đổi, rút gọn các biểu thức chứa biến

* Phương pháp: Để biến đổi, rút gọn các biểu thức chứa biến có chứa lũy thừa, ta cần thực hiện các bước sau:

Bước 1: Đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc số mũ (nếu có thể).

Bước 2: Tính toán, rút gọn các biểu thức chứa biến có chứa lũy thừa bằng cách sử dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên, hữu tỉ và số thực.

* Các tính chất biến đổi lũy thừa:

Ø Lũy thừa với số mũ nguyên: Với a ≠ 0, b ≠ 0 và hai số nguyên m, n.

                                a^m.aⁿ = a^{m + n};                           $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n};$

                                (a^m)ⁿ = a^mn;                              (ab)^m = a^mb^m;     

                                ${\left(\frac{a}{b}\right)}^m=\frac{a^m}{b^m}$ .

Ø Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: Với n, k là các số nguyên dương, m là số nguyên và biểu thức ở dưới đây đều có nghĩa, ta có:

                                 $\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab};$                      $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}};$ 

                                 ${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m=\sqrt[n]{a^m};$                       $\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a};$

                                $\sqrt[n]{a^n}$  = a khi n lẻ;

                                 $\sqrt[n]{a^n}$ = |a| khi n chẵn.

Chú ý: Với a > 0, m là số nguyên và n là số nguyên dương, ta có:

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}.$

Ø Lũy thừa với số mũ thực: Với a, b > 0 và hai số thực m, n.

                                a^m.aⁿ = a^{m + n};                           $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n};$

                                (a^m)ⁿ = a^mn;                              (ab)^m = a^mb^m;     

                                ${\left(\frac{a}{b}\right)}^m=\frac{a^m}{b^m}$ .

Ví dụ 1. Cho a, b là những số thực dương. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ

a) $\sqrt{a\sqrt{a}}$ ;

b) $b^{\frac{4}{3}}:\sqrt[3]{b}$ .

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt{a\sqrt{a}}={\left(a.a^{\frac{1}{2}}\right)}^{\frac{1}{2}}={\left(a^{\frac{3}{2}}\right)}^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{3}{2}.\frac{1}{2}}=a^{\frac{3}{4}}.$

b) $b^{\frac{4}{3}}:\sqrt[3]{b}=\frac{b^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{b}}=\frac{b^{\frac{4}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}}=b^{\frac{4}{3}-\frac{1}{3}}=b^1=b.$

Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức $P=\frac{a^{\sqrt{7}+1}{a}^{2-\sqrt{7}}}{{\left(a^{\sqrt{2}-2}\right)}^{\sqrt{2}+2}}$  với a > 0.

Hướng dẫn giải

Ta có: $P=\frac{a^{\sqrt{7}+1}{a}^{2-\sqrt{7}}}{{\left(a^{\sqrt{2}-2}\right)}^{\sqrt{2}+2}}=\frac{a^{\sqrt{7}+1+2-\sqrt{7}}}{a^{\left(\sqrt{2}-2\right)\left(\sqrt{2}+2\right)}}=\frac{a^3}{a^{-2}}=a^5.$