Lý thuyết Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng, mặt phẳng

1.1. Xác định khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Bước 1: Xác định hình chiếu H của điểm M đến đường thẳng a

+) Trong mặt phẳng chứa M và a, kẻ MH ^ a tại H.

+) Dựng (P) chứa M và vuông góc a tại H ⇒ MH ^ a tại H.

Bước 2: Sử dụng các công thức tính độ dài đoạn thẳng để tính MH:

+) DMHN vuông tại H: MH² = MN² – NH².

+) DMAB vuông tại M có MH là đường cao: $\frac{1}{M{H}^2}=\frac{1}{M{A}^2}+\frac{1}{M{B}^2}$.

$MH=\frac{MA.MB}{AB}=\frac{MA.MB}{\sqrt{M{A}^2+M{B}^2}}$.

+) DMAB có MH là đường cao: $S_{MAB}=\frac{1}{2}.AB.MH\Rightarrow MH=\frac{2.S_{MAB}}{AB}$ .

+) Dùng tỉ lệ: $\left\{\begin{array}{l}MN\cap a=P\\ d\left(N,a\right)=NK\end{array}\right.\Rightarrow \frac{d\left(M,a\right)}{d\left(N,a\right)}=\frac{MP}{NP}$ .

1.2. Xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Xác định hình chiếu của điểm lên mặt phẳng

Cách 1: Dựng trực tiếp: AM ^ (P) tại M ⇒ d(A, (P)) = AM.

Cách 2: Dựng hình chiếu từ chân đường vuông góc

Ta có AM ^ (P) và BC Ì (P) nên AM ^ BC (1).

Trong (P), dựng MI ^ BC (2).

Từ (1) và (2), suy ra BC ^ (AMI).

Trong (AMI), dựng MH ^ AI.

Có MH Ì (AMI) và BC ^ (AMI) nên BC ^ MH.

Vì BC ^ MH và MH ^ AI nên MH ^ (ABC).

Cách 3: Sử dụng tính chất song song: MN // (P) ⇒ d(M, P) = d(N, (P)).

Cách 4: Sử dụng tỉ lệ: $MN\cap \left(P\right)=I\Rightarrow \frac{d\left(M,\left(P\right)\right)}{d\left(N,\left(P\right)\right)}=\frac{MI}{NI}$ .

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC tất cả cách cạnh bằng 2a, SG ^ (ABC) với G là trọng tâm DABC, I là trung điểm BC.

a) Tính khoảng cách từ S đến AI.

b) Tính khoảng cách từ A đến SI.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có SG ^ (ABC) ⇒ SG ^ AI ⇒ d(S, AI) = SG.

Vì DABC đều, AI là trung tuyến nên AI đồng thời là đường cao và $AI=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$ .

Vì G là trọng tâm nên $AG=\frac{2}{3}AI=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$

Xét DSAG vuông tại G có:

$SG=\sqrt{S{A}^2-A{G}^2}=\sqrt{{\left(2a\right)}^2-{\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}a\right)}^2}=\frac{2\sqrt{6}}{3}a$.

Vậy $d\left(S,AI\right)=SG=\frac{2\sqrt{6}}{3}a$ .

b) Trong (SAI): Vẽ AH ^ SI tại H ⇒ d(A, SI) = AH,

Vẽ GK ^ SI tại K ⇒ d(G, SI) = GK .

Ta có: $AG\cap SI=I\Rightarrow \frac{d\left(A,SI\right)}{d\left(G,SI\right)}=\frac{AI}{GI}\Rightarrow d\left(A,SI\right)=AH=\frac{AI}{GI}.GK$ .

Có $GI=\frac{1}{3}AI=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ .

Xét DSGI vuông tại G, có: $\frac{1}{G{K}^2}=\frac{1}{S{G}^2}+\frac{1}{G{I}^2}=\frac{3}{8a^2}+\frac{3}{a^2}=\frac{27}{8a^2}\Rightarrow GK=\frac{2a\sqrt{6}}{9}$ .

$\Rightarrow AH=\frac{AI}{GI}\cdot GK=\frac{3}{1}.\frac{2\sqrt{6}}{9}a=\frac{2\sqrt{6}}{3}a$.

Vậy $d\left(A,SI\right)=\frac{2\sqrt{6}}{3}a$ .

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, DSAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

a) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD).

b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC).

Hướng dẫn giải:

a) Gọi H là trung điểm của AB.

Vì DSAB đều nên SH ^ AB và $SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Mà (SAB) ^ (ABCD) và (SAB) Ç (ABCD) = AB nên SH ^ (ABCD).

Do đó d(S, (ABCD)) = $SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

b) Vì SH ^ (ABCD) nên SH ^ BC mà BC ^ AB nên BC ^ (SAB).

Kẻ AK ^ SB tại K.

Vì BC ^ (SAB) nên BC ^ AK mà AK ^ SB nên AK ^ (SBC).

Do đó d(A, (SBC)) = AK = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .