Lý thuyết Hình chóp đều, hình lăng trụ đứng và các trường hợp đặc biệt

a) Hình lăng trụ đứng, hình hộp, hình lập phương.

Tên	Định nghĩa	Hình vẽ	Tính chất cơ bản
Hình lăng trụ đứng	là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy		- Cạnh bên vuông góc với hai đáy. - Mặt bên là các hình chữ nhật.
Hình lăng trụ đều	là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều		- Hai đáy là hai đa giác đều. - Mặt bên là các hình chữ nhật. - Cạnh bên và đường nối tâm hai đáy vuông góc với hai đáy.
Hình hộp đứng	là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành		- Bốn mặt bên là hình chữ nhật. - Hai đáy là hình bình hành.
Hình hộp chữ nhật	là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật		- Sáu mặt là hình chữ nhật. - Độ dài a, b, c của 3 cạnh cùng đi qua một đỉnh gọi là ba kích thước của hình hộp chữ nhật. - Độ dài đường chéo d được tính theo 3 kích thước $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
Hình lập phương	là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau		- Sáu mặt là hình vuông. - Độ dài đường chéo d được tính theo công thức $d=a\sqrt{3}$ .

b) Hình chóp đều

+) Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu nó có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.

+) Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau.

+) Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với đáy các góc bằng nhau.

Ví dụ 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng $2\sqrt{2}$, AA' = 4. Tính góc giữa mặt phẳng (A'BC)  với mặt phẳng (ABCD).

Hướng dẫn giải:

Do ABCD là hình vuông nên AB ^ BC (1).

Mà AA' ^ (ABCD) ⇒ AA' ^ BC (2).

Từ (1) và (2), suy ra BC ^ (ABB'A') ⇒ BC ^ A'B.

Mặt khác AB ^ BC và (A'BC) Ç (ABCD) = BC.

Do đó góc giữa mặt phẳng (A'BC)  với mặt phẳng (ABCD) chính bằng góc giữa hai đường thẳng AB và A'B.

Mà (AB, A'B) = $\widehat{ABA\text{'}}$ .

Xét DA'AB vuông tại A, có $\tan \widehat{A\text{'}BA}=\frac{AA\text{'}}{AB}=\frac{4}{2\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}\Rightarrow \widehat{A\text{'}BA}\approx 54,7°$ .

Ví dụ 2. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $a\sqrt{2}$ và chiều cao bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ . Tính góc tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy của hình chóp.

Hướng dẫn giải:

Gọi O là tâm của hình vuông. Khi đó O là trung điểm của AC, BD.

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO ^ (ABCD) ⇒ SO ^ AB (1).

Gọi E là trung điểm của AB.

Khi đó OE là đường trung bình của DABC ⇒ $OE=\frac{BC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$  và OE ^ AB (2).

Từ (1) và (2), suy ra AB ^ (SOE) ⇒ AB ^ SE.

Vì  $\left\{\begin{array}{l}\left(SAB\right)\cap \left(ABCD\right)=AB\\ OE\perp AB\\ SE\perp AB\end{array}\right.$nên góc giữa mặt phẳng (SAB) và (ABCD) là $\widehat{SEO}$ .

Vì $SO=OE=\frac{a\sqrt{2}}{2}$  nên DSOE vuông cân tại O. Do đó $\widehat{SEO}=45°$ .

Vậy góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy của hình chóp là 45°.