Lý thuyết Trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm và ý nghĩa

Cho mẫu số liệu ghép nhóm

a) Trung vị

Để tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta làm như sau:

Bước 1. Xác định nhóm chứa trung vị. Giả sử đó là nhóm thứ p là [a_p; a_p+1).

Bước 2. Trung vị là $M_e=a_p+\frac{\frac{n}{2}-\left(m_1+\mathrm{...}+m_{p-1}\right)}{m_p}\cdot \left(a_{p+1}-a_p\right),$ trong đó n là cỡ mẫu, m_p là tần số nhóm p. Với p = 1, ta quy ước m₁ + … + m_p–1 = 0.

Ý nghĩa trung vị: Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho trung vị của mẫu số liệu gốc, nó chia mẫu số liệu thành hai phần, mỗi phần chứa 50% giá trị.

b) Tứ phân vị

– Để tính tứ phân vị thứ nhất Q₁ của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa Q₁. Giả sử đó là nhóm thứ p, là [a_p; a_{p + 1}). Khi đó,

$Q_1=a_p+\frac{\frac{n}{4}-\left(m_1+\mathrm{...}+m_{p-1}\right)}{m_p}\cdot \left(a_{p+1}-a_p\right),$

trong đó, n là cỡ mẫu, m­_p là tần số nhóm p, với p = 1 ta quy ước m₁ + … + m_{p – 1} = 0.

–  Để tính tứ phân vị thứ ba Q₃ của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa Q₃. Giả sử đó là nhóm thứ p, là [a_p; a_{p + 1}). Khi đó,

$Q_3=a_p+\frac{\frac{3n}{4}-\left(m_1+\mathrm{...}+m_{p-1}\right)}{m_p}\cdot \left(a_{p+1}-a_p\right),$

trong đó, n là cỡ mẫu, m_p là tần số nhóm p, với p = 1 ta quy ước m₁ + … + m_{p – 1} = 0.

– Tứ phân vị thứ hai Q₂ chính là trung vị M_e.

Chú ý:

⦁ Ta cũng có thể xác định nhóm chứa tứ phân vị thứ r nhờ tính chất có khoảng $\frac{r\cdot n}{4}$ giá trị nhỏ hơn tứ phân vị này.

⦁ Nếu chỉ tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm thì ta không cần hiệu chỉnh nhóm rời rạc k₁ – k₂, chọn giá trị đại diện là $\frac{k_1+k_2}{2}$.

Ý nghĩa của tứ phân vị: Các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho các tứ phân vị của mẫu số liệu gốc, chúng chia mẫu số liệu thành 4 phần, mỗi phần chứa 25% giá trị.

Ví dụ 1. Độ bão hoà oxygen trong máu (còn được gọi là chỉ số SpO₂) biểu thị cho tỉ lệ hemoglobin có oxygen trên tổng lượng hemoglobin trong máu. Chỉ số SpO₂ (đơn vị đo là %) từ 97 – 99 là oxygen trong máu tốt, 94 – 96 là oxygen trong máu trung bình, 90 – 93 là oxygen trong máu thấp, dưới 90 là trường hợp cấp cứu trên lâm sàng. (Theo: Vinmec.com). Đo chỉ số SpO₂ ở một số bệnh nhân Covid–19 người ta thu được kết quả sau:

a) Cho biết các nhóm số liệu và tần số tương ứng.

b) Tính số trung bình, trung vị và giải thích ý nghĩa của các giá trị thu được.

Hướng dẫn giải:

a) Có 3 nhóm số liệu gồm 90 – 93, 94 – 96, 97 – 99 với tần số tương ứng là 12, 31, 7.

b) Trước hết, ta hiệu chỉnh các nhóm số liệu và thu được bảng tần số ghép nhóm gồm giá trị đại diện như sau:

Cỡ mẫu n = 12 + 31 + 7 = 50 . Do đó, số trung bình là

$\overline{x}=\frac{12\cdot 91,5+31\cdot 95+7\cdot 98}{50}=94,58.$

Do có $\frac{n}{2}=25$ giá trị nhỏ hơn trung vị nên trung vị thuộc nhóm [93,5; 96,5). Ta có, a_p = 93,5; a_{p + 1} = 96,5; m₁ + … + m_{p – 1} = 12, m_p = 31.

Do đó, trung vị là  $M_e=93,5+\frac{25-12}{31}\cdot 3\approx 94,76.$

Như vậy, chỉ số SpO₂ trung bình của 50 bệnh nhân là 94,58; có 25 bệnh nhân có chỉ số SpO₂ nhỏ hơn 94,76 và 25 bệnh nhân có chỉ số SpO₂ lớn hơn 94,76.

Ví dụ 2. Một nhóm gồm 45 học sinh làm một bài kiểm tra trắc nghiệm gồm 40 câu hỏi. Số câu trả lời đúng của mỗi bạn được ghi lại ở bảng sau:

a) Tìm các tứ phân vị của dãy số liệu trên.

b) Tổng hợp lại dãy số liệu trên vào bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:

c) Hãy ước lượng các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Hướng dẫn giải:

a) Mẫu số liệu đã cho được sắp xếp theo thứ tự không giảm như sau:

16; 17; 18; 19; 20; 20; 21; 21; 22; 23; 24; 24; 24; 24; 24;
25; 26; 26; 26; 27; 28; 29; 30; 30; 31; 32; 33; 34; 34; 34;
35;    35;    36;    36;     36;     37;    37;     37;    37;     38;     38;    39;     39;     40;     40.

Cỡ mẫu là n = 45 là số lẻ nên trung vị của mẫu số liệu là Q₂ = x₂₃ = 30.

Tứ phân vị thứ nhất là $Q_1=\frac{1}{2}\left(x_{11}+x_{12}\right)=\frac{1}{2}\cdot \left(24+24\right)=24.$

Tứ phân vị thứ ba là  $Q_3=\frac{1}{2}\left(x_{34}+x_{35}\right)=\frac{1}{2}\cdot \left(36+36\right)=36.$

b) Bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu trên như sau:

c) Do số câu trả lời đúng của học sinh là số nguyên nên ta hiệu chỉnh lại bảng số liệu như sau:

Gọi x₁; x₂; …; x₄₅ là số câu trả lời đúng của 45 học sinh được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: x₁, …, x₆ Î [15,5; 20,5); x₇, …, x₁₆ Î [20,5; 25,5); x₁₇, …, x₂₄ Î [25,5; 30,5); x₂₅, …, x₃₂ Î [30,5; 35,5); x₃₃, …, x₄₅ Î [35,5; 40,5).

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu x₁; x₂; …; x₄₅ là x₂₃ Î [25,5; 30,5).

Do đó, tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là

$Q_2=25,5+\frac{\frac{45}{2}-\left(6+10\right)}{8}\cdot \left(30,5-25,5\right)=29,5625.$ 

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu x₁; x₂; …; x₄₅ là $\frac{1}{2}\left(x_{11}+x_{12}\right).$

Do x₁₁ và x₁₂ thuộc nhóm [20,5; 25,5) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là $Q_1=20,5+\frac{\frac{45}{4}-6}{10}.\left(25,5-20,5\right)=23,125$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu x₁; x₂; …; x₄₅ là $\frac{1}{2}\left(x_{34}+x_{35}\right)$.

Do x₃₄ và x­₃₅ thuộc nhóm [35,5; 40,5) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là $Q_3=35,5+\frac{\frac{3.45}{4}-\left(6+10+8+8\right)}{13}.\left(40,5-35,5\right)\approx 36,173$.

Ví dụ 3. Một công ty cung cấp nước sạch thống kê lượng nước các hộ gia đình trong một khu vực tiêu thụ trong một tháng ở bảng sau:

a) Hãy ước lượng số trung bình, mốt và trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

b) Công ty muốn gửi một thông báo khuyến nghị tiết kiệm nước đến 25% các hộ gia đình có lượng nước tiêu thụ cao nhất. Hỏi công ty nên gửi đến các hộ tiêu thụ từ bao nhiêu mét khối nước trở lên?

Hướng dẫn giải:

a) Cỡ mẫu n = 160.

Bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu trên như sau:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là

$\overline{x}=\frac{24.4,5+57.7,5+42.10,5+29.13,5+8.16,5}{160}=9,375$.

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là nhóm [6; 9).

Do đó: u_m = 6; n_m = 57; n_{m – 1} = 24; n_m+1 = 42.

Mốt của mẫu số liệu là $M_O=6+\frac{57-24}{\left(57-24\right)+\left(57-42\right)}\cdot \left(9-6\right)=8,0625$.

Gọi x₁; x₂; …; x₁₆₀ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: x₁, …, x₂₄ Î [3; 6); x₂₅, …, x₈₁ Î [6; 9); x₈₂, …,  x₁₂₃ Î [9; 12); x₁₂₄, …, x₁₅₂ Î [12; 15); x₁₅₃, …, x₁₆₀ Î [15; 18).

Cỡ mẫu n = 160 là số chẵn nên trung vị là $M_e=\frac{1}{2}\left(x_{80}+x_{81}\right)$.

Do x₈₀ và x₈₁ thuộc nhóm [6; 9) nên trung vị của mẫu số liệu là

$M_e=6+\frac{\frac{160}{2}-24}{57}.\left(9-6\right)\approx 8,95$.

Vậy công ty nên gửi thông báo tiết kiệm nước đến các hộ gia đình có lượng nước tiêu thụ từ 8,95 m³ nước trở lên.

Ví dụ 4. Bảng sau thống kê khối lượng một số quả măng cụt được lựa chọn ngẫu nhiên trong một thùng hàng.

a) Hãy tính số trung bình, mốt và trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

b) Người ta muốn chia măng cụt trong thùng ra làm ba loại theo cân nặng, bao gồm: loại nhỏ, loại vừa và loại to. Các loại này lần lượt chiếm khoảng 25%, 50% và 25% số măng cụt trong thùng. Hãy xác định ngưỡng cân nặng để phân loại quả.

Hướng dẫn giải:

a) Cỡ mẫu n = 90.

Bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu trên như sau:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

$\overline{x}=\frac{18.81+20.83+24.85+15.87+13.89}{90}=\frac{254}{3}\approx 84,67$.

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là nhóm [84; 86).

Do đó: u_m = 84; n_m = 24; n_m–1 = 20; n_m+1 = 15; u_m+1 = 86.

Mốt của mẫu số liệu là $M_O=84+\frac{24-20}{\left(24-20\right)+\left(24-15\right)}.\left(86-84\right)\approx 84,62$.

Gọi x₁; x₂; …; x₉₀ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: x₁, …, x₁₈ Î [80; 82); x₁₉, …, x₃₈ Î [82; 84); x₃₉, …, x₆₂ Î [84; 86); x₆₃, …, x₇₇ Î [86; 88); x₇₈, …, x₉₀ Î [88; 90).

Cỡ mẫu n = 90 là số chẵn nên trung vị là $M_e=\frac{1}{2}\left(x_{45}+x_{46}\right)$

Do x₄₅ và x₄₆ thuộc nhóm [84; 86) nên trung vị của mẫu số liệu là

$M_e=84+\frac{\frac{90}{2}-\left(18+20\right)}{24}.\left(86-84\right)\approx 84,58$.

b) Gọi Q₁, Q₃ lần lượt là tứ phân vị thứ nhất và thứ ba của mẫu số liệu. Theo đề bài, ta có:

Măng cụt loại nhỏ có cân nặng nhỏ hơn Q₁.

Măng cụt loại vừa có cân nặng trong [Q₁; Q₃).

Măng cụt loại to có cân nặng không nhỏ hơn Q₃.

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu x₁; x₂; …; x₉₀ là x₂₃ Î [82; 84).

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu x₁; x₂; …; x₉₀ là x₆₈ Î [86; 88).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất là $Q_1=82+\frac{\frac{90}{4}-18}{20}.\left(84-82\right)=82,45$;

tứ phân vị thứ ba là $Q_3=86+\frac{\frac{90.3}{4}-\left(18+20+24\right)}{15}.\left(88-86\right)\approx 86,73$.

Vậy măng cụt loại nhỏ có khối lượng (tính theo gam) thuộc [80; 82,45).

Măng cụt loại vừa có khối lượng (tính theo gam) thuộc [82,45; 86,73).

Măng cụt loại to có khối lượng (tính theo gam) thuộc [86,73; 90).