Lý thuyết Xác định và tính góc giữa hai đường thẳng

- Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng m và n trong không gian, kí hiệu (m, n), là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và tương ứng song song với m và n.

- Các cách xác định góc giữa hai đường thẳng:

+ Cách 1. Sử dụng định nghĩa góc giữa hai đường thẳng trong không gian.

+ Cách 2. Để xác định góc giữa 2 đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc đường thẳng a rồi vẽ một đường thẳng a' không trùng với a qua O và song song với đường thẳng b. Từ đó, ta có: (a, b) = (a, a').

+ Cách 3. Sử dụng tích vô hướng: Tìm hai vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}$ ,$\overrightarrow{u_2}$ của hai đường thẳng d₁, d₂. Khi đó góc giữa hai đường thẳng d₁, d₂ xác định bởi $\cos \left(d_1,d_2\right)=\frac{\left|\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}\right|}{\left|\overrightarrow{u_1}\right|.\left|\overrightarrow{u_2}\right|}$ .

- Chú ý:

+ Với hai đường thẳng a, b bất kì: 0° ≤ (a, b) ≤ 90°.

+ Để tính $\overrightarrow{u_1}$ , $\overrightarrow{u_2}$ , $\left|\overrightarrow{u_1}\right|$ ,$\left|\overrightarrow{u_2}\right|$ ta chọn ba vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ rồi thực hiện các tính toán.

Ví dụ 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình chữ nhật ABCD với AC = 2AB. Tính góc giữa các đường thẳng sau:

a) (AD, A'B').

b) (A'B', AC).

Hướng dẫn giải

a) 

Do ABCD.A'B'C'D' là hình hộp chữ nhật nên ta có:

A'B' song song với AB

Mà AB cắt AD tại A

Nên ta có: (AD, A'B') = (AD, AB)

Do ABCD là hình chữ nhật nên AD vuông góc với AB hay:

(AD, A'B') = (AD, AB) = 90°.

b)

Xét tam giác ABC vuông tại B có:

AC = 2AB (gt) nên $\sin \widehat{ACB}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{ACB}=30°$

$\Rightarrow \widehat{BAC}=90°-30°=60°$.

Do ABCD.A'B'C'D' là hình hộp chữ nhật nên ta có:

A'B' song song với AB

Mà AB cắt AC tại A

Nên ta có: (A'B', AC) = (AB, AC) = $\widehat{BAC}$  = 60°.

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, IJ = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$(I, J lần lượt là trung điểm của BC và AD). Tính số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

Hướng dẫn giải

Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, BD.

Khi đó, MI, NI, MJ, NJ lần lượt là các đường trung bình của tam giác ABC, BCD, ACD và ABD.

Do đó, ta có: $MI=NI=MJ=NJ=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD=\frac{a}{2}$

MI // AB; CD // NI

Do đó, MINJ là hình thoi.

Và (AB, CD) = (IM, IN) = $\widehat{MIN}$ .

Gọi O là giao điểm của MN và IJ.

Khi đó MN vuông góc với IJ tại O và O là trung điểm của IJ.

Suy ra $IO=\frac{IJ}{2}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$ .

Xét tam giác MIO vuông tại O có:

$\cos \widehat{MIO}=\frac{IO}{MI}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{4}}{\frac{a}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \widehat{MIO}=30°\Rightarrow \widehat{MIN}=60°$.

Vậy (AB, CD) = 60°.

Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và $\widehat{BAC}=\widehat{BAD}=60°$ . Hãy xác định góc giữa cặp hai đường thẳng AB và CD.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB}$ , đường thẳng CD có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{CD}$ .

Ta có: 

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}\right)=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

$=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AD}\right|.\cos 60°-\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos 60°=0$ (do AB = AC = AD và $\widehat{BAC}=\widehat{BAD}=60°$)

Khi đó, $\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right)=\frac{\left|\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}\right|}{\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{CD}\right|}=\frac{0}{\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{CD}\right|}=0$ .

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD là 90°.