Lý thuyết Vận dụng định lí ba đường vuông góc để chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Định lí ba đường vuông góc: Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a' của a trên (P).

→ Định lí ba đường vuông góc cho phép chuyển việc kiểm tra tính vuông góc giữa a và b (có thể chéo nhau) sang kiểm tra tính vuông góc giữa b và a' (cùng thuộc mặt phẳng (P)).

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, SA ⊥ (ABC). Chứng minh: BC ⊥ SB.

Hướng dẫn giải

Do SA ⊥ (ABC) nên hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là A.

Do đó, hình chiếu vuông góc của SB lên (ABC) là AB.

Vì tam giác ABC vuông tại B nên AB vuông góc với BC tại B.

Theo định lí ba đường vuông góc thì BC ⊥ SB.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với đáy. Kẻ AH ⊥ SB tại H, AK ⊥ SB tại K. Chứng minh rằng: SC ⊥ BD.

Hướng dẫn giải

Do SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là A, do đó, hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD) là AC.

Mà do ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD.

Theo định lí ba đường vuông góc, ta có: SC ⊥ BD.