Lý thuyết Giải quyết một số vấn đề thực tiễn liên quan đến cấp số cộng

Đối với các bài toán về ứng dụng của cấp số cộng trong thực tiễn, ta sử dụng các công thức, tính chất của cấp số cộng và áp dụng phù hợp với các yêu cầu của đề bài.

Các công thức liên quan đến cấp số cộng cần lưu ý:

Cho cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ và công sai d:

– Số hạng tổng quát của dãy số: u_n­ = u₁ + d.(n – 1);

– Tổng của cấp số cộng gồm n số hạng: $S_n=\frac{n}{2}\left(u_1+u_n\right)=\frac{n}{2}\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]$.

Ví dụ 1. Chiều cao (đơn vị: centimét) của một đứa trẻ n tuổi phát triển bình thường được cho bởi công thức: x_n = 75 + 5(n – 1). Dãy số (x_n) có là một cấp số cộng không? Trung bình một năm, chiều cao mỗi đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên bao nhiêu centimét?

Hướng dẫn giải:

Ta có: x_{n + 1} = 75 + 5(n + 1 – 1) = 75 + 5n

Xét hiệu x_{n + 1} – x_n = 75 + 5n – [75 + 5(n – 1)] = 5.

Do đó (x_n) là một cấp số cộng có số hạng đầu x₁ = 75 và công sai d = 5.

Từ đó suy ra trung bình một năm, chiều cao mỗi đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên 5 cm.

Ví dụ 2. Khi kí kết hợp đồng lao động với người lao động, một doanh nghiệp đề xuất phương án trả lương như sau: Năm thứ nhất, tiền lương là 120 triệu. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương được tăng 18 triệu. Nếu người lao động kí hợp đồng thời hạn 10 năm với công ty trên thì thời điểm kết thúc năm cuối của hợp đồng, người ấy nhận được tổng số tiền là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Gọi (u_n) là dãy số tiền lương của người lao động theo phương án 1 qua mỗi năm.

Dãy số (u_n) lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 120 và công sai d = 18.

Khi đó số hạng tổng quát của cấp số nhân là: u_n = 120 + (n – 1).18.

u₁₀ = 120 + (10 – 1).18 = 282 (triệu đồng)

Tổng số tiền lương nhận được sau 10 năm là: $S_{10}=\frac{10.\left(120+282\right)}{2}=2010$ (triệu đồng).

Vậy Tổng số tiền lương nhận được sau 10 năm là 2010 triệu đồng.