Lý thuyết Xác định và tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Ÿ Định nghĩa:

- Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng 90°.

- Nếu đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa đường thẳng d và hình chiếu d' của nó trên (P) được gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Ÿ Chú ý: Nếu α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) thì 0° ≤ α ≤ 90°.

Ÿ Cách xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):

Bước 1. Tìm giao điểm O của d và (P).

Bước 2. Lấy điểm A nằm trên d và A khác O, xác định hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (P) là H.

Bước 3. Khi đó, góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc AOH.

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC, có SA ⊥ (ABC), SA = a, AB = a . Tính số đo góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC).

Hướng dẫn giải

Ta có: SB ∩ (ABC) tại B.

S ∈ SB và hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là A (vì SA ⊥ (ABC))

Do đó, góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) là $\widehat{SBA}$ .

Xét tam giác SAB vuông tại A có:

$$\begin{gathered} \tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \Rightarrow \widehat{SBA}=30° \end{gathered}$$.

Vậy góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 30°.

Ví dụ 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên ta có SO ⊥ (ABCD).

SA ∩ (ABCD) = A và O là hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) nên:

Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) là $\widehat{SAO}$ .

Ta có: $AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+a^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Khi đó, $\cos \widehat{SAO}=\frac{OA}{SA}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \widehat{SAO}=45°$

Vậy góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 45°.