Lý thuyết Sử dụng tính chất của lôgarit để biển đổi, rút gọn các biểu thức chứa biến

*Phương pháp: Để biến đổi, rút gọn các biểu thức chứa biến có chứa lôgarit, ta cần thực hiện các bước sau:

Bước 1: Đưa các lũy thừa về cùng cơ số (nếu có thể).

Bước 2: Tính toán, rút gọn các biểu thức chứa biến bằng cách sử dụng các tính chất của lôgarit.

* Một số kiến thức cần lưu ý:

Ø Tính chất của lôgarit: Cho hai số dương a, b với a ≠ 1.

ü log_a 1 = 0; log_a a = 1;

ü $a^{{\log }_{a}M}=M$ ; log_a a^α = α.

Ø Quy tắc tính lôgarit: Cho các số dương a, M, N với a ≠ 1.

ü log_a (MN) = log_a M + log_a N (Tích – tổng);

ü${\log }_a\left(\frac{M}{N}\right)$ = log_a M – log_a N (Thương – hiệu);

ü log_a M^α = αlog_a M.

Ø Công thức biến đổi cơ số: Cho các số dương a, b, M với a ≠ 1 và b ≠ 1.

ü${\log }_{a}M=\frac{{\log }_{b}M}{{\log }_{b}a};$

ü ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$ ;

ü ${\log }_{a^{\alpha }}b=\frac{1}{\alpha }{\log }_{a}b$ .

Ø Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên.

ü Lôgarit cơ số 10 của một số dương M gọi là lôgarit thập phân: log₁₀M (M > 0) được viết là logM hoặc lgM.

ü Lôgarit cơ số e của một số dương N gọi là lôgarit tự nhiên: log_eN (N > 0) được viết là lnN.

* Chú ý: Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên là trường hợp đặc biệt của lôgarit thông thường ở trên nên nó có đầy đủ tính chất, quy tắc tính của lôgarit thông thường.

Ví dụ 1. Cho a > 0 và a ≠ 1. Tính:

a) log_a a^–3;

b) ${\log }_a\sqrt{a\sqrt{a}}$ ;

c) ${\log }_{\frac{1}{a}}\sqrt[3]{a^7}$ .

Hướng dẫn giải

a) log_a a^–3 = –3.

b) ${\log }_a\sqrt{a\sqrt{a}}={\log }_a{\left(a.a^{\frac{1}{2}}\right)}^{\frac{1}{2}}={\log }_a{\left(a^{\frac{3}{2}}\right)}^{\frac{1}{2}}={\log }_a{a}^{\frac{3}{4}}=\frac{3}{4}.$

c) ${\log }_{\frac{1}{a}}\sqrt[3]{a^7}={\log }_{a^{-1}}{a}^{\frac{7}{3}}=\frac{1}{-1}{\log }_a{a}^{\frac{7}{3}}=\left(-1\right).\frac{7}{3}=-\frac{7}{3}.$

Ví dụ 2. Cho log_a b = 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $A={\log }_a{b}^3+{\log }_{a^2}{b}^6;$

b) $B={\log }_a\left(2b\right)+{\log }_a\left(\frac{b^2}{2}\right).$

Hướng dẫn giải

a) $A={\log }_a{b}^3+{\log }_{a^2}{b}^6=3{\log }_{a}b+6.\frac{1}{2}{\log }_{a}b=6{\log }_{a}b.$

Suy ra A = 6.2 = 12.

b) $B={\log }_a\left(2b\right)+{\log }_a\left(\frac{b^2}{2}\right)$ = log_a 2 + log_a b + log_a b² – log_a 2

= log_a b + log_a b² = log_a b + 2log_a b = 3log_a b.

Suy ra B = 3.2 = 6.