Lý thuyết Nhận biết và chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

- Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Đường thẳng ∆ được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu ∆ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P).

- Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α) ta có thể dùng một trong các cách sau:

+ Cách 1. Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a; b cắt nhau nằm trong (α).

+ Cách 2. Chứng minh d song song với đường thẳng a mà a vuông góc với (α).

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có chung đáy BC. Điểm I là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh BC ⊥ (ADI).

Hướng dẫn giải

Các tam giác ABC và BCD là hai tam giác cân nên tại A và D và I là trung điểm của BC.

Trong tam giác cân đường trung tuyến đồng thời là đường cao nên:

AI vuông góc với BC.

DI vuông góc với BC.

Mà AI cắt DI tại I, AI ⊂ (AID), BI ⊂ (AID)

Do đó, BC ⊥ (AID).

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều, SCD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a) Chứng minh tam giác SIJ vuông.

b) Chứng minh SI ⊥(SCD); SJ ⊥ (SAB).

Hướng dẫn giải

a)

Ta có: ∆SAB đều cạnh a nên $SI=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tứ giác IBCJ là hình chữ nhật nên IJ = BC = a

∆SCD là tam giác vuông cân đỉnh S ⇒ SJ = $\frac{CD}{2}$ = $\frac{a}{2}$

Do đó, SJ² + SI² = IJ² = a² ⇒ ∆SIJ vuông tại S.

b)

Do ∆SCD cân tại S nên SJ ⊥ CD.

Do AB // CD ⇒ SJ ⊥ AB, mà SJ ⊥ SI nên SJ ⊥ (SAB).

Chứng minh tương tự ta có SI ⊥ (SCD).