Lý thuyết Nhận biết và chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

1.1. Định nghĩa

Hai mặt phẳng (P) và (Q) được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90°.

1.2. Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Để chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau ta có thể sử dụng:

+) Cách 1: Một đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) hoặc ngược lại một đường thẳng nào đó nằm trong mặt phẳng (Q) và vuông góc với mặt phẳng (P).

+) Cách 2: Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng 90°.

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và SA ^ (ABC).

a) Chứng minh (SBC) ^ (SAB).

b) Gọi AH và AK lần lượt là đường cao trong tam giác SAB và SAC. Chứng minh (SBC) ^ (AKH).

Hướng dẫn giải:

a) Vì SA ^ (ABC) ⇒ SA ^ BC mà AB ^ BC nên BC ^ (SAB).

Mà BC Ì (SBC) nên (SBC) ^ (SAB).

b) Vì BC ^ (SAB) ⇒ BC ^ AH.

Mà AH ^ SB nên AH ^ (SBC).

Lại có AH Ì (AHK) nên (SBC) ^ (AKH).

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a và BD = a. Biết cạnh $SA=\frac{a\sqrt{6}}{2}$  và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Chứng minh rằng:

a) (SAC) ^ (SBD).

b) (SCD) ^ (SBC).

Hướng dẫn giải:

a) Do ABCD là hình thoi nên AC ^ BD (1).

Vì SA ^ (ABCD) nên SA ^ BD (2).

Từ (1) và (2), suy ra BD ^ (SAC) mà BD Ì (SBD) nên (SAC) ^ (SBD).

b) Kẻ OH ^ SC tại H.

Vì BD ^ (SAC) nên BD ^ SC mà OH ^ SC suy ra SC ^ (BHD).

Vì SC ^ (BHD) ⇒ SC ^ BH, SC ^ DH.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC) bằng .

Vì DABD đều cạnh a nên $AO=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AC=a\sqrt{3}$ .

Kẻ AK ^ SC tại K.

Xét DSAC vuông tại A, có $\frac{1}{A{K}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{C}^2}=\frac{2}{3a^2}+\frac{1}{3a^2}=\frac{1}{a^2}\Rightarrow AK=a$ .

Vì OH // AK mà O là trung điểm AC nên OH là đường trung bình của DCAK.

Suy ra $OH=\frac{AK}{2}=\frac{a}{2}$ .

Xét DBDH có BD = a, $HO=\frac{a}{2}$  nên DBDH vuông tại H hay $\widehat{BHD}=90°$ .

Do đó (SCD) ^ (SBC).