Lý thuyết Khoảng cách giữa các đường thẳng và mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song

Ta quy bài toán tìm khoảng cách giữa các đối tượng song song về tìm khoảng cách từ điểm đến đường – khoảng cách từ điểm đến mặt.

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có SA ^ (ABCD), đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B và AB = a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa đường thẳng IJ và (SAD).

Hướng dẫn giải:

Vì IJ // AD nên IJ // (SAD).

Khi đó d(IJ, (SAD)) = d(I, (SAD)).

Vì SA ^ (ABCD) nên SA ^ AI mà AI ^ AD. Do đó AI ^ (SAD).

Suy ra d(I, (SAD)) = AI.

Vì I là trung điểm của AB nên $AI=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}$ .

Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30°. Hình chiếu H của A trên mặt phẳng (A'B'C') thuộc đường thẳng B'C'. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy.

Hướng dẫn giải:

Do hình lăng trụ ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a suy ra AB' = AC'.

Mà H là hình chiếu của A trên mặt phẳng (A'B'C') nên H là trung điểm của B'C'.

Lại có AH ^ (A'B'C') nên A'H là hình chiếu của A'A trên mặt phẳng (A'B'C').

Do đó $\widehat{A{A}^{\text{'}}H}=30°$ .

Do DA'B'C' đều nên A'H $=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Xét DAHA' vuông tại H, có AH = A'H.tan30° = $\frac{a}{2}$ .

Vì (ABC) // (A'B'C') nên d((ABC), (A'B'C')) = AH = $\frac{a}{2}$ .