Lý thuyết Bài toán thực tiễn gắn với phép tính lôgarit

*Phương pháp: Để giải các bài toán thực bài toán thực tiễn gắn với phép tính lôgarit, chúng ta cần thực hiện các bước như sau:

Bước 1: Xác định các yếu tố quan trọng của bài toán.

Bước 2: Xác lập các quy luật, công thức mà chúng ta phải tuân theo.

Bước 3: Áp dụng tính chất của lôgarit để giải quyết bài toán.

* Một số kiến thức cần lưu ý:

- Khái niệm lôgarit: Cho a là một số thực dương khác 1 và M là một số thực dương. Số thực α để a^α = M được gọi là lôgarit cơ số a của M và kí hiệu là log_aM.

α = log_aM ⇔ a^α = M.

- Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên:

+ Lôgarit cơ số 10 của một số dương M gọi là lôgarit thập phân: log₁₀M (M > 0) được viết là logM hoặc lgM.

+ Lôgarit cơ số e của một số dương N gọi là lôgarit tự nhiên: log_eN (N > 0) được viết là lnN.

* Chú ý: Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên là trường hợp đặc biệt của lôgarit thông thường ở trên nên nó có đầy đủ tính chất, quy tắc tính của lôgarit thông thường.

Ví dụ 1. Chỉ số hay độ pH của một dung dịch được tính theo công thức: pH = –log[H⁺] với [H⁺] là nồng độ ion hydrogen. Người ta đo được nồng độ ion hydrogen của một cốc nước cam là 10^–4, nước dừa là 10^–5 (nồng độ tính bằng mol L^–1). Làm thế nào để tính được độ pH của cốc nước cam, nước dừa đó?

Hướng dẫn giải

Độ pH của cốc nước cam là: pH = –log[H⁺] = –log10^–4 = –(–4) = 4;

Độ pH của cốc nước dừa là:pH = –log[H⁺] = –log10^–5 = –(–5) = 5.

Ví dụ 2. Mức cường độ âm L đo bằng decibel (dB) của âm thanh có cường độ I (đo bằng oát trên mét vuông, kí hiệu là W/m²) được định nghĩa như sau:

$L\left(I\right)=10\log \frac{I}{I_0},$

trong đó I₀ = 10^–12 W/m² là cường độ âm thanh nhỏ nhất mà tai người có thể phát hiện được (gọi là ngưỡng nghe).

Xác định mức cường độ âm của mỗi âm sau:

a) Cuộc trò chuyện bình thường có cường độ I = 10^–7 W/m²;

b) Giao thông thành phố đông đúc có cường độ I = 10^–3 W/m².

Hướng dẫn giải

a) Mức cường độ âm của cuộc trò chuyện bình thường có cường độ I = 10^–7 W/m² là

$L_1=10\log \frac{I}{I_0}=10\log \frac{{10}^{-7}}{{10}^{-12}}=10\log {10}^5=10.5=50$ (dB).

b) Mức cường độ âm của giao thông thành phố đông đúc có cường độ I = 10^–3 W/m² là

$L_2=10\log \frac{I}{I_0}=10\log \frac{{10}^{-3}}{{10}^{-12}}=10\log {10}^9=10.9=90$ (dB).