Lý thuyết Xét tính bị chặn của dãy số

Với các dãy số vô hạn:

Để xác định tính bị chặn của dãy số, ta tìm khoảng giá trị của dãy số đó khi n Î [1; +∞):

+ Xét các dãy số có tính tăng, thì u_n  ³ u₁ hay (u_n) luôn bị chặn dưới.

+ Xét các dãy số có tính giảm, thì u_n £ u₁ hay (u_n) luôn bị chặn trên.

+ Với 2 trường hợp này, ta xét thêm khi n ® +∞. Nếu khi đó u_n = a (a là một giá trị hữu hạn) thì ta kết luận được dãy số bị chặn. Nếu u_n ® +∞, thì dãy số chỉ bị chặn một bên.

Với các dãy số hữu hạn: Nếu một dãy số là dãy số hữu hạn thì dãy số đó là dãy số bị chặn.

Ví dụ 1. Cho dãy số hữu hạn (u_n): 1, 4, 9, 16, 25, 36. Xét tính bị chặn của dãy số (u_n).

Hướng dẫn giải:

Nhận xét: 1 £ u_n £ 36.

Suy ra dãy số là dãy bị chặn.

Ví dụ 2. Cho dãy số hữu hạn (u_n): u_n = 2n + 2. Xét tính bị chặn của dãy số (u_n).

Hướng dẫn giải:

Ta có: u_n+1 – u_n = 2(n + 1) + 2 – 2n – 2 = 2

Þ u_n là dãy số tăng Û u_n ³ u₁ = 4.

Khi n ® +∞ thì u_n ® +∞.

Suy ra dãy số bị chặn dưới.