Lý thuyết Tính giá trị của biểu thức số có chứa phép tính lũy thừa

* Phương pháp: Để tính giá trị của biểu thức số có chứa phép tính lũy thừa, ta sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ, các tính chất biến đổi lũy thừa với số mũ nguyên thực và số mũ hữu tỉ.

* Các tính chất biến đổi lũy thừa:

Ø Lũy thừa với số mũ nguyên: Với a ≠ 0, b ≠ 0 và hai số nguyên m, n.

                                a^m.aⁿ = a^m+n;                            $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n};$

                                (a^m)ⁿ = a^mn;                              (ab)^m = a^mb^m;     

                                ${\left(\frac{a}{b}\right)}^m=\frac{a^m}{b^m}$ .

Ø Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: Với n, k là các số nguyên dương, m là số nguyên và biểu thức ở dưới đây đều có nghĩa, ta có:

                                $\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab};$                         $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}};$

                                 ${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m=\sqrt[n]{a^m};$                       $\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a};$

                                $\sqrt[n]{a^n}$  = a khi n lẻ;

                                $\sqrt[n]{a^n}$  = |a| khi n chẵn.

Chú ý: Với a > 0, m là số nguyên và n là số nguyên dương, ta có:

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}.$

Ø Lũy thừa với số mũ thực: Với a, b > 0 và hai số thực m, n.

                                a^m.aⁿ = a^{m + n};                           $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n};$

                                (a^m)ⁿ = a^mn;                              (ab)^m = a^mb^m;     

                                ${\left(\frac{a}{b}\right)}^m=\frac{a^m}{b^m}$ .

Ví dụ 1. Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:

a) A = 3^-3;

b $B={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-12}{.8}^{-3}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $A=3^{-3}=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}.$

b) Ta có: $B={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-12}{.8}^{-3}=2^{12}.\frac{1}{8^3}=\frac{2^{12}}{{\left(2^3\right)}^3}=\frac{2^{12}}{2^9}=2^{12-9}=2^3=8.$

Ví dụ 2. Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:

a)  $C=2^{1-\sqrt{2}}{.2}^{3+\sqrt{2}}{.4}^{\frac{1}{2}}$;

b) $D=\frac{{25.5}^{\frac{1}{3}}}{\sqrt[3]{5^4}}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $C=2^{1-\sqrt{2}}{.2}^{3+\sqrt{2}}{.4}^{\frac{1}{2}}=2^{1-\sqrt{2}+3+\sqrt{2}}.{\left(2^2\right)}^{\frac{1}{2}}$

                $=2^4{.2}^{2\cdot \frac{1}{2}}=2^4{.2}^1=2^{4+1}=2^5=32.$  

b) Ta có: $D=\frac{{25.5}^{\frac{1}{3}}}{\sqrt[3]{5^4}}=\frac{5^2{.5}^{\frac{1}{3}}}{5^{\frac{4}{3}}}=\frac{5^{2+\frac{1}{3}}}{5^{\frac{4}{3}}}=\frac{5^{\frac{7}{3}}}{5^{\frac{4}{3}}}=5^{\frac{7}{3}-\frac{4}{3}}=5^1=5.$