Lý thuyết Nhận biết góc phẳng của góc nhị diện và tính góc phẳng nhị diện

1.1. Một số khái niệm

a) Góc nhị diện:

Cho hai mặt phẳng (P₁), (Q₁) có chung bờ là đường thẳng d. Hình tạo bởi (P₁), (Q₁) và d được gọi là góc nhị diện tạo bởi (P₁), (Q₁), kí hiệu [P₁, d, Q₁].

Hai nửa mặt phẳng (P₁), (Q₁) gọi là hai mặt của nhị diện và d gọi là cạnh của nhị  diện.

b) Góc phẳng nhị diện.

Cho góc nhị diện [P, a, Q]. Gọi O là một điểm tuỳ ý trên a, Ox là tia nằm trong (P) và vuông góc với d, Oy là tia nằm trong (Q) và vuông góc với d.

Khi đó góc xOy được gọi là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện đã cho.

c) Số đo của góc nhị diện

+) Số đo của một góc phẳng nhị diện được gọi là số đo của góc nhị diện đó.

+) Số đo của góc nhị diện từ 0° đến 180°.

+) Nếu số đo góc phẳng nhị diện bằng 90° thì góc nhị diện đó gọi là góc nhị diện vuông.

1.2. Phương pháp giải

Ta xác định góc nhị diện tạo bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) theo 3 bước:

Bước 1: Tìm giao tuyến D = (P) Ç (Q).

Bước 2: Tìm a Ì (P): a ^ D và b Ì (Q): b ^ D.

Bước 3: Kết luận [P, D, Q].

Ví dụ 1. Cho tứ diện S.ABC có các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = 1. Gọi α là góc phẳng nhị diện [S, BC, A]. Tính cosα?

Hướng dẫn giải:

Gọi D là trung điểm cạnh BC.

Vì SB = SC nên DSBC cân tại S, SD là trung tuyến suy ra SD ^ BC.

Vì $\left\{\begin{array}{l}SA\perp SB\\ SA\perp SC\end{array}\right.\Rightarrow SA\perp \left(SBC\right)$  ⇒ SA ^ BC.

Mà SD ^ BC ⇒ BC ^ (SAD) ⇒ BC ^ AD.

Do đó [S, BC, A] = $\widehat{SDA}$.

Xét DSBC vuông tại S, SD là đường cao, ta có: $\frac{1}{S{D}^2}=\frac{1}{S{B}^2}+\frac{1}{S{C}^2}=2\Rightarrow SD=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Xét DSAD vuông tại S có: $AD=\sqrt{S{A}^2+S{D}^2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

Xét DSDA vuông tại S, ta có: $\cos \alpha =\cos \widehat{SDA}=\frac{SD}{AD}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, biết AD = 2a, AB = BC = a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và $SA=\frac{a\sqrt{6}}{2}$ . Gọi E là trung điểm của AD. Tính số đo của góc phẳng nhị diện [S, BE, A].

Hướng dẫn giải:

Có E là trung điểm của AD. Khi đó ABCE là hình vuông cạnh bằng a.

Gọi I = AC Ç BE.

Vì ABCE là hình vuông nên AI ^ BE (1).

Vì SA ^ (ABCD) ⇒ SA ^ BE (2).

Từ (1) và (2), suy ra BE ^ (SAI) ⇒ BE ^ SI.

Khi đó $\left\{\begin{array}{l}\left(SBE\right)\cap \left(ABE\right)=BE\\ AI\perp BE\\ SI\perp BE\end{array}\right.$  ⇒ [S, BE, A] = $\widehat{SIA}$ .

Xét DABC vuông tại B, có $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=a\sqrt{2}$ .

Mà I là trung điểm của AC nên $AI=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Xét DSIA vuông tại A, ta có:

$\tan \widehat{SIA}=\frac{SA}{IA}=\frac{a\sqrt{6}}{2}:\frac{a\sqrt{2}}{2}=\sqrt{3}$.