Lý thuyết Giải các phương trình lượng giác ở dạng vận dụng trực tiếp phương trình lượng giác cơ bản

* Phương pháp giải: Để giải các phương trình lượng giác ở dạng vận dụng trực tiếp phương trình lượng giác cơ bản, ta cần nhận dạng (biến đổi) phương trình đã cho về đúng loại phương trình cơ bản, từ đó chọn và ráp công thức nghiệm tương ứng.

* Đổi đơn vị: π = 180°.

* Các phương trình lượng giác cơ bản:

Ø Phương trình sin x = a  (1)

+ TH1: |a| > 1: phương trình (1) vô nghiệm.

+ TH2: |a| ≤ 1: gọi α là một góc thỏa mãn sin α = a.

Khi đó, phương trình (1) có các nghiệm là:

x = α + k2π, k ∈ ℤ hoặc x = π – α + k2π, k ∈ ℤ.

Chú ý:

ü Nếu số đo góc α được cho bằng đơn vị độ thì ta có các nghiệm là

x = α° + k360°, k ∈ ℤ hoặc x = 180° – α° + k360°, k ∈ ℤ.

üMột số trường hợp đặc biệt:

Ÿ sin x = 1 ⇔ $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$, k ∈ ℤ hoặc x = 90° + k360°, k ∈ ℤ.

Ÿ sin x = –1 ⇔ $x=‐\frac{\pi }{2}+k2\pi$, k ∈ ℤ hoặc x = –90° + k360°, k ∈ ℤ.

Ÿ sin x = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ ℤ hoặc x = k180°, k ∈ ℤ.

Ø Phương trình cos x = a  (2)

+ TH1: |a| > 1: phương trình (2) vô nghiệm.

+ TH2: |a| ≤ 1: gọi α là một góc thỏa mãn cos α = a.

Khi đó, phương trình (2) có các nghiệm là:

x = α + k2π, k ∈ ℤ hoặc x = – α + k2π, k ∈ ℤ.

Chú ý:

ü Nếu số đo góc α được cho bằng đơn vị độ thì ta có các nghiệm là

x = α° + k360°, k ∈ ℤ hoặc x = –α° + k360°, k ∈ ℤ.

ü Một số trường hợp đặc biệt:

Ÿ cos x = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ ℤ hoặc x = k360°, k ∈ ℤ.

Ÿ cos x = –1 ⇔ x = π + k2π, k ∈ ℤ hoặc x = 180° + k360°, k ∈ ℤ.

Ÿ cos x = 0 ⇔ $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, k ∈ ℤ hoặc x = 90° + k360°, k ∈ ℤ.

Ø Phương trình tan x = a (3)

Điều kiện xác định: $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, k ∈ ℤ hoặc $x=90°+k180°, k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Khi đó, phương trình (3) có nghiệm là x = α + kπ, k ∈ ℤ.

Chú ý: Nếu số đo góc α được cho bằng đơn vị độ thì ta có nghiệm là

x = α° + k180°, k ∈ ℤ.

Ø Phương trình cot x = a (4)

Điều kiện xác định: x ≠ kπ, k ∈ ℤ hoặc x ≠ k180°, k ∈ ℤ.

Khi đó, phương trình (4) có nghiệm là x = α + kπ, k ∈ ℤ.

Chú ý: Nếu số đo góc α được cho bằng đơn vị độ thì ta có nghiệm là

x = α° + k180°, k ∈ ℤ.

Ví dụ 1. Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cos x = 3;

b) sin x = $\frac{1}{2}$;

c) cos x $=\frac{\sqrt{3}}{2}$;

d) cos $\left(x-\frac{5\pi }{12}\right)$ = 1;

e) sin$\left(x-\frac{\pi }{12}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Hướng dẫn giải:

a) cos x = 3 (1)

Vì –1 ≤ cos x ≤ 1 với mọi số thực x nên phương trình (1) vô nghiệm.

b) sin x $=\frac{1}{2}$

⇔ sin x = sin$\frac{\pi }{6}$ 

c) cos x $=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 

⇔ cos x = cos 30°

d) cos $\left(x-\frac{5\pi }{12}\right)$ = 1

⇔ $x-\frac{5\pi }{12}$ = k2π , k ∈ ℤ

⇔  x = $\frac{5\pi }{12}$ + k2π, k ∈ ℤ.

Ví dụ 2. Giải các phương trình lượng giác sau:

a) tan $\left(x+\frac{\pi }{2}\right)$= $\sqrt{3}$;

b) cot $\left(x+\frac{3\pi }{4}\right)$ = $\sqrt{3}$.

Hướng dẫn giải:

a) tan $\left(x+\frac{\pi }{2}\right)=\sqrt{3}$

$\iff \tan \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=\tan \frac{\pi }{3}$

⇔ $x+\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{3}+k\pi$, k ∈ ℤ

$\iff x=\frac{‐\pi }{6}+k\pi$, k ∈ ℤ.

b) cot $\left(x+\frac{3\pi }{4}\right)=\sqrt{3}$

⇔ cot $\left(x+\frac{3\pi }{4}\right)$ $=cot\frac{\pi }{6}$

⇔ $x+\frac{3\pi }{4}=\frac{\pi }{6}+k\pi$, k ∈ ℤ

⇔ $x=\frac{‐7\pi }{12}+k\pi$, k ∈ ℤ.