Lý thuyết Bài tập liên quan đến tính chất của cấp số nhân

Cho (u_n) là cấp số nhân; có số hạng đầu là u1 và công bội q.

Theo tính chất của cấp số nhân ta có: u_n² = u_{n – 1} . u_{n + 1} với n ≥ 2.

Để chứng minh ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân ta cần chứng minh: ac = b².

Ví dụ 1. Cho a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân.

Chứng minh: (ab + bc + ca)³ = abc(a + b + c)³.

Hướng dẫn giải:

Vì a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, nên có ac = b².

Ta có:  $abc{(a+b+c)}^3=b^3\cdot {(a+b+c)}^3$(do ac = b²)

$={\left(ab+b^2+bc\right)}^3={(ab+ac+bc)}^3$ (đpcm).

Ví dụ 2. Cho a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân.

Chứng minh: (a² + b²)(b² + c²) = (ab + bc)².

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\left(a^2+b^2\right)\cdot \left(b^2+c^2\right)=a^2\cdot b^2+a^2\cdot c^2+b^4+b^2\cdot c^2$

$=a^2{b}^2+b^4+b^4+b^2{c}^2$ (vì ac = b² nên a²c² = b⁴).

 $=a^2{b}^2+2b^4+b^2{c}^2=a^2{b}^2+2ab\cdot bc+b^2{c}^2={(ab+bc)}^2$(đpcm).