Lý thuyết Biến cố độc lập

Cặp biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.

Chú ý: Nếu cặp biến cố A và B độc lập thì các cặp biến cố: A và $\overline{B}$; $\overline{A}$ và B; $\overline{A}$ và $\overline{B}$ cũng độc lập.

Ví dụ 1. Có hai lọ hoa. Lọ I cắm 5 bông hoa hồng và 3 bông hoa cúc. Lọ II cắm 4 bông hoa hồng và 5 bông hoa thược dược. Lấy ngẫu nhiên đồng thời từ mỗi lọ một bông hoa. Xét hai biến cố sau:

A: 'Lấy được bông hoa hồng từ lọ I', B: 'Lấy bông hoa hồng từ lọ II'.

Chứng tỏ rằng A và B độc lập.

Hướng dẫn giải:

Dù A có xảy ra (lấy được bông hoa hồng) hay A không xảy ra (lấy được bông hoa cúc) ta đều có $P\left(B\right)=\frac{4}{9}$.

Dù B có xảy ra (lấy được được bông hoa hồng) hay B không xảy ra (lấy được bông hoa thược dược) ta đều có $P\left(A\right)=\frac{5}{8}$.

Do đó việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.

Vậy A và B độc lập.

Ví dụ 2. Một hộp có 7 viên bi màu xanh và 8 viên bi màu đỏ, các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy viên bi ngẫu nhiên hai lần liên tiếp, trong đó mỗi lần lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp, ghi lại màu của viên bi lấy ra và bỏ lại viên bi đó vào hộp. Xét các biến cố:

A: “Viên bi màu đỏ được lấy ra ở lần thứ nhất”;

B: “Viên bi màu xanh được lấy ra ở lần thứ hai”.

Hai biến cố A và B có độc lập không? Vì sao?

Hướng dẫn giải:

Trước hết, xác suất của biến cố B khi biến cố A xảy ra bằng $\frac{7}{15}$, xác suất của biến cố B khi biến cố A không xảy ra cũng bằng $\frac{7}{15}$. Do đó việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố A không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B. Mặt khác, xác suất của biến cố A bằng $\frac{8}{15}$, không phụ thuộc vào việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố B.

Vậy hai biến cố A và B là độc lập.