Lý thuyết Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

- Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D và điểm $x_0\in D$. Để xét tính liên tục của hàm số trên tại điểm x = x₀:

+ Tính giới hạn của hàm số khi $x\to x_0$ và tính f(x₀).

+ Nếu tồn tại $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)$ thì ta so sánh, nếu $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0+}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0-}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$ thì hàm số liên tục tại x₀.

- Lưu ý:

+ Để hàm số liên tục tại x₀, hàm số cần phải xác định tại điểm x₀.

+ $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=a\iff \underset{x\to x_0+}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0-}{\lim }f\left(x\right)=a$.

+ Hàm số $y=\left\{\begin{array}{c}f\left(x\right)\text{ khi x}\ne {\text{x}}_0\\ k\text{ khi }x=x_0\end{array}\right.$ liên tục tại x₀ $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=k$.

+ Hàm số $y=\left\{\begin{array}{c}{f}_1\left(x\right)\text{ khi x}\ge {\text{x}}_0\\ f_2\left(x\right)\text{ khi }x<x_0\end{array}\right.$ liên tục tại x_{0 $\iff \underset{x\to x_0+}{\lim }{f}_1\left(x\right)=\underset{x\to x_0-}{\lim }{f}_2\left(x\right)=f_1\left(x_0\right)$}.

Ví dụ . Xét tính liên tục của hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}x-2\text{ khi x}\ne \text{5}\\ 3\text{ khi }x=5\end{array}\right.$ tại x = 5.

Hướng dẫn giải:

Hàm số xác định trên ℝ.

Ta có f(5) = 3;

$\underset{x\to 5}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 5}{\lim }\left(x-2\right)=3=f\left(5\right)$.

Vậy hàm số liên tục tại x = 5.