Lý thuyết Bài toán thực tiễn liên quan đến phương trình lượng giác

Dựa vào dữ kiện đề bài để đưa ra phương trình lượng giác tương ứng, sau đó giải phương trình lượng giác hoặc sử dụng các phép biến đổi tương đương; các công thức lượng giác: công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổi tổng thành tích; tích thành tổng… để giải phương trình lượng giác, từ đó tìm ra kết quả theo yêu cầu của đề bài.

Ví dụ 1. Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40° Bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số:

$d\left(t\right)=3\sin \left[\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right]+12$ , với t ∈ ℤ và 0 ≤ t ≤ 365.

Vậy thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm?

Hướng dẫn giải

Giả sử thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ $t_0$.

Ta có: $d\left(t_0\right)=3\sin \left[\frac{\pi }{182}\left(t_0-80\right)\right]+12$

Mà d($t_0$) = 12 nên ta có:

$3\sin \left[\frac{\pi }{182}\left(t_0-80\right)\right]+12=12$

$\iff 3\sin \left[\frac{\pi }{182}\left(t_0-80\right)\right]=0$

$\iff \sin \left[\frac{\pi }{182}\left(t_0-80\right)\right]=0$

$\iff \frac{\pi }{182}\left(t_0-80\right)=k\pi$ , k ∈ ℤ         

⇔ $t_0$ – 80 = 182k , k ∈ ℤ

⇔ $t_0$ = 182k + 80, k ∈ ℤ

Mà 0 ≤ $t_0$ ≤ 365

⇔ –80 ≤ 182k ≤ 285

⇔ –0,44 ≤ k ≤ 1,57

Mà k ∈ ℤ nên k = 0 hoặc k = 1

Nếu k = 0 thì t0 = 80

Nếu k = 1 thì t0 = 262

Vậy thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 và ngày thứ 262.

Ví dụ 2. Một quả đạn pháp được bắn khỏi nòng pháp với vận tốc ban đầu v0 = 500 m/s hợp với phương ngang một góc α. Trong Vật lí, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình $y=\frac{‐g}{2{v_0}^2{\cos }^2 \alpha }{x}^2+ \tan \alpha$, ở đó g = 9,8 m/s2 là gia tốc trọng trường. Tính theo góc bắn α tầm xa mà quả đạn đạt tới (tức là khoảng cách từ vị trí bắn đến điểm chạm đất của quả đạn).

Hướng dẫn giải: