Lý thuyết Tính xác suất của biến cố hợp của hai biến cố bất kì bằng cách sử dụng công thức cộng xác suất và phương pháp tổ hợp

Cho hai biến cố A và B. Khi đó, ta có công thức cộng xác suất:

P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A Ç  B).

Chú ý: Ta sử dụng phương pháp tổ hợp (sử dụng quy tắc đếm, hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp) để tính xác suất của các biến cố trong một số trường hợp không liệt kê cụ thể được các phần tử.

Ví dụ 1. Mai, Lan và 5 bạn cùng lớp xếp thành một hàng ngang theo thứ tự ngẫu nhiên. Tính xác suất của biến cố 'Có ít nhất một trong hai bạn Mai và Lan đứng ở đầu hàng'.

Hướng dẫn giải:

Số cách xếp 7 người thành một hàng ngang là 7!.

Gọi A là biến cố 'Mai đứng ở đầu hàng', B là biến cố 'Lan đứng ở đầu hàng'.

Xác suất của biến cố A là $P\left(A\right)=\frac{2.6!}{7!}=\frac{2}{7}$.

Xác suất của biến cố B là $P\left(B\right)=\frac{2.6!}{7!}=\frac{2}{7}$.

Xác suất của biến cố 'Hai bạn Lan và Mai đứng ở hai đầu hàng' là: $P\left(A\cap B\right)=\frac{2.5!}{7!}=\frac{1}{21}.$

Xác suất của biến cố 'Có ít nhất một trong hai bạn Mai và Lan đứng ở đầu hàng' là: $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)=\frac{2}{7}+\frac{2}{7}-\frac{1}{21}=\frac{11}{21}.$

Ví dụ 2. Một nhóm có 50 người được phỏng vấn họ đã mua cành đào hay cây quất vào dịp Tết vừa qua, trong đó có 31 người mua cành đào, 12 người mua cây quất và 5 người mua cả cành đào và cây quất. Chọn ngẫu nhiên một người. Tính xác suất để người đó:

a) Mua cành đào hoặc cây quất.

b) Mua cành đào và không mua cây quất.

c) Không mua cành đào và không mua cây quất.

d) Mua cây quất và không mua cành đào.

Hướng dẫn giải:

a) Gọi A là biến cố: 'Người đó mua cành đào', B là biến cố: 'Người đó mua cây quất'.

Ta cần tính P(A È B). Ta có: $P\left(A\right)=\frac{31}{50}$; $P\left(B\right)=\frac{12}{50}=\frac{6}{25}$; $P\left(AB\right)=\frac{5}{50}=\frac{1}{10}$.

Do đó: $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(AB\right)=\frac{31}{50}+\frac{12}{50}-\frac{5}{50}=\frac{38}{50}=\frac{19}{25}$.

b) Ta cần tính $P\left(A\cap \overline{B}\right)$.

Ta có: $A=AB\cup A\overline{B}$ và $AB,A\overline{B}$ là hai biến cố xung khắc nên $P\left(A\right)=P\left(AB\right)+P\left(A\overline{B}\right).$

Do đó $P\left(A\cap \overline{B}\right)=P\left(A\overline{B}\right)=P\left(A\right)-P\left(AB\right)=\frac{31}{50}-\frac{5}{50}=\frac{26}{50}=\frac{13}{25}$.

c) Ta cần tính $P\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)$.

Ta có biến cố đối của biến cố $P\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)$ là biến cố A È B.

Vậy $P\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)=1-P\left(A\cup B\right)=1-\frac{19}{25}=\frac{6}{25}$.

d) Ta cần tính $P\left(\overline{A}\cap B\right)$.

Ta có: $B=AB\cup \overline{A}B$ và $AB,\overline{A}B$ là hai biến cố xung khắc nên $P\left(B\right)=P\left(AB\right)+P\left(\overline{A}B\right).$

Do đó $P\left(\overline{A}\cap B\right)=P\left(\overline{A}B\right)=P\left(B\right)-P\left(AB\right)=\frac{12}{50}-\frac{5}{50}=\frac{7}{50}$ .

Ví dụ 3. Một hộp chứa 40 tấm thẻ cùng loại được đánh số lần lượt từ 1 đến 40. Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời hai thẻ từ hộp. Tính xác suất của các biến cố:

a) 'Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra nhỏ hơn 4 hoặc lớn hơn 76';

b) 'Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra chia hết cho 10'.

Hướng dẫn giải:

a) Gọi A là biến cố 'Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra nhỏ hơn 4 hoặc lớn hơn 76'.

Gọi A₁ là biến cố 'Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra nhỏ hơn 4', A₂ là biến cố 'Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra lớn hơn 76'.

Khi đó, ta có A = A₁ È A₂.

Biến cố A₁ xảy ra khi 2 tấm thẻ được chọn ghi số 1 và 2. Do đó $P\left(A_1\right)=\frac{1}{C_{40}^2}=\frac{1}{780}$.

Biến cố A₂ xảy ra khi 2 tấm thẻ được chọn ghi số (37; 40), (38; 40), (39; 40) hoặc (38; 39). Do đó, $P\left(A_2\right)=\frac{4}{C_{40}^2}=\frac{4}{780}.$

Do A₁ và A₂ là hai biến cố xung khắc nên:

$P\left(A\right)=P\left(A_1\cup A_2\right)=P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)=\frac{1}{780}+\frac{4}{780}=\frac{1}{156}$.

b) Từ 1 đến 40 có 8 số chia hết cho 5; 20 số chia hết cho 2 và 4 số chia hết cho 10.

Gọi B là biến cố 'Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra chia hết cho 10'.

Gọi B₁ là biến cố 'Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra không chia hết cho 5', B₂ là biến cố 'Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra không chia hết cho 2'.

Khi đó, B là biến cố đối của biến cố B₁ È B₂.

Ta có $P\left(B_1\cup B_2\right)=P\left(B_1\right)+P\left(B_2\right)-P\left(B_1{B}_2\right)=\frac{C_{32}^2}{C_{40}^2}+\frac{C_{20}^2}{C_{40}^2}-\frac{C_{16}^2}{C_{40}^2}=\frac{283}{390}$.

Do đó, xác suất biến cố B “Tích các số ghi trên hai thẻ chia hết cho 10” là

$P\left(B\right)=1-P\left(B_1\cup B_2\right)=\frac{107}{390}.$