Lý thuyết Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

- Với bài toán tìm giao điểm của một đường thẳng d và mặt phẳng (P) cho trước:

+ Chọn một mặt phẳng phụ (M) chứa đường thẳng d.

+ Tìm giao tuyến của (P) và (M). Gọi $a=\left(P\right)\cap \left(M\right)$.

+ Tìm giao điểm của a và d. Gọi $A=a\cap d$.

+ A chính là giao điểm của d và (P).

Ví dụ 1.

Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng và không có 3 điểm nào thẳng hàng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD. Xác định giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP)?

Hướng dẫn giải:

Gọi giao điểm của NP và CD là E.

CD thuộc mặt phẳng (BCD).

Do $E\in NP$ nên $E\in \left(MNP\right)$.

N nằm trên BP, P nằm trên BD nên NP nằm trên mặt phẳng (BCP).

Do đó NP là giao tuyến của (MNP) và (BCD).

Mà $E=CD\cap NP$ nên E là giao điểm của CD và (MNP).