Lý thuyết Tính giá trị của biểu thức liên quan đến các giá trị lượng giác

* Phương pháp: Để tính tính giá trị của biểu thức liên quan đến các giá trị lượng giác ta sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác nhằm triệt tiêu các giá trị lượng giác không đặc biệt hoặc biến đổi biểu thức lượng giác về dạng chỉ xuất hiện giá trị đã cho của giả thiết để tính.

* Các công thức thường sử dụng:

Ø Các hệ thức lượng giác cơ bản:

*Các hệ thức lượng giác cơ bản:

ü sin2 α + cos2 α = 1;

ü  $1+{\tan }^2 \alpha =\frac{1}{{\cos }^2 \alpha } \left(\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi , K\in Z\right)$

ü  $1+co{t}^2 \alpha =\frac{1}{{\sin }^2 \alpha }$ $\left(a\ne k\pi , k\in Z\right)$;

ü $\tan \alpha .cot \alpha =1 \left(\alpha \ne \frac{\pi }{2}, k\in Z\right)$.

Ø Giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt:

ü Góc đối nhau (α và – α): cos (– α) = cos α; sin (– α) = – sin α;

                                           tan (– α) = – tan α; cot (– α) = – cot α.

üGóc bù nhau (α và π – α): sin (π – α) = sin α; cos (π – α) = – cos α;

                                             tan (π – α)  = – tan α; cot (π – α)  = – cot α.

ü Góc phụ nhau (α và $\frac{\pi }{2}$ – α): sin $\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$ = cos α; cos $\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$  = sin α;

                                               tan $\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$ = cot α; cot $\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$ = tan α.

ü Góc hơn kém nhau π (α và π + α): sin (π + α) = – sin α; cos (π + α) = – cos α;

                                                         tan (π + α)  = tan α; cot (π + α) = cot α.

Ví dụ 1. Tính:

a) A = 2cos 2x +3sin 3x với x = 45°.

b) B = tan 10°tan 20°... tan 80°.

Hướng dẫn giải

a) Thay x = 45° vào biểu thức A ta có:

A = 2cos (2.45°) + 3sin (3.45°) = 2cos 90° + 3sin (135°)

  $=2.0+3.\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}.$

b) Ta có: tan (90° – x) = cot x; tan x.cot x = 1.

Suy ra tan x. tan (90° – x) = 1.

Ta có: B = tan 10°tan 20°... tan 80°

              = (tan 10°tan 80°).(tan 20°tan 70°).(tan 30°tan 60°).(tan 40°tan 50°)

              =  (tan 10°cot 10°).(tan 20°cot 20°).(tan 30°cot 30°).(tan 40°cot 40°)

              = 1 . 1 . 1 . 1

              = 1.

Ví dụ 2.

a) Cho cos x = $\frac{1}{3}$ với 0° < x < 90°.

Tính giá trị của biểu thức P = 4sin x + cos2 x + 1.

b) Cho tan x = 2. Tính giá trị biểu thức A = $\frac{4\sin x+5\cos x}{2\sin x-3\cos x}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: ${\sin }^2$ x + ${\cos }^2$ x = 1 ⇒ ${\sin }^2$ x = 1 – ${\cos }^2$ x.

⇒ sin x = $\pm \sqrt{1-{\cos }^{2}x}=\pm \sqrt{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=\pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$ .

Vì 0° < x < 90° nên sin x > 0.

Suy ra $\sin x=\frac{2\sqrt{2}}{3}$