Lý thuyết Tìm các số hạng của dãy số cho bởi công thức truy hồi và dự đoán công thức tổng quát của dãy số

Để tìm các số hạng của dãy số cho bởi công thức truy hồi ta có thể giải theo các bước:

- Phân tích các số hạng sau theo các số hạng đã biết theo các quy luật, tính chất được thể hiện ở công thức truy hồi.

- Dự đoán số hạng tổng quát.

- Kiểm tra bằng cách thay lần lượt các giá trị n ∈ ℕ   vào công thức tổng quát (hoặc chứng minh bằng phương pháp quy nạp).

Cách dự đoán công thức tổng quát của dãy số:

- Nếu u_n có dạng u_n = a₁ + a₂ + ... + a_k + .. + a_n thì biến đổi a_k thành hiệu của hai số hạng, dựa vào đó thu gọn u_k .

- Nếu dãy số (u_n) được cho bởi một hệ thức truy hồi, tính vài số hạng đầu của dãy số (chẳng hạn tính u₁; u₂; ... ). Từ đó dự đoán công thức tính u_n theo n, rồi chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp. Ngoài ra cũng có thể tính hiệu:

u_n+1 – u_n dựa vào đó để tìm công thức tính u_n theo n.

Ví dụ 1. Cho dãy số xác định bằng hệ thức truy hồi: u­₁ = 1, u­_n = 3u_{n – 1} + 2 với n ³ 2. Viết ba số hạng đầu của dãy số này.

Hướng dẫn giải:

Ta có: u₁ = 1, u₂ = 3u₁ + 2 = 5, u₃ = 3u₂ + 2 =17.

Ví dụ 2. Dãy số (u_n) được cho bởi hệ thức truy hồi u­₁ = 1, u_n = n. u_{n – 1}, với n ³ 2.

a) Viết 5 số hạng tiếp theo của dãy số (u_n).

b) Tìm công thức số hạng tổng quát u_n.

Hướng dẫn giải:

a) Năm số hạng tiếp theo của dãy số là:

u₂ = 2.u₁ = 2.1 = 2;

u₃ = 3.u₂ = 3.2 = 6;

u₄ = 4.u₃ = 4.6 = 24;

u₅ = 5.u₄ = 5.24 = 120;

u₆ = 6.u₅ = 6.120 = 720.

b) Nhận thấy:

u₂ = 2 = 1.2;

u₃ = 6 = 1.2.3;

u₄ = 24 = 1.2.3.4;

u_n = n.u u_{n – 1} = n. (n – 1).u_{n – 2} = n. (n – 1).(n – 2).u_{n – 3}

= n. (n – 1).(n – 2). … .2.1 = n!;

Vậy nên số hạng tổng quát của dãy là u_n = n!.