Lý thuyết Cách sử dụng kí hiệu thuộc, không thuộc, tập con, ℕ, ℤ, ℚ

‒ Để sử dụng được các kí hiệu $\in ,\notin ,\subset$, ℕ, ℤ, ℚ thì ta cần nắm vững ý nghĩa và kí hiệu của từng kí hiệu:

+ Kí hiệu ℕ: Tập hợp các số tự nhiên.

+ Kí hiệu ℤ: Tập hợp các số nguyên.

+ Kí hiệu ℚ: Tập hợp các số hữu tỉ.

+ Kí hiệu \(\in\): “phần tử của” hoặc “thuộc”

+ Kí hiệu \(\notin\): “không phải là phần tử của” hoặc “không thuộc”.

+ Kí hiệu ⊂: “tập hợp con của”.

‒ Các kí hiệu ∈ ; ∉ dùng để so sánh giữa phần tử với tập hợp.

‒ Kí hiệu ⊂ dùng để so sánh giữa các tập hợp với nhau.

‒ Để biết được một số thuộc tập hợp số hữu tỉ ℚ hay không ta cần nắm được định nghĩa số hữu tỉ: Số hữu tỉ là số được viết dưới dạng phân số \(\dfrac{a}{b}\) với a, b \(\in\) ℤ, b ≠ 0.

Chú ý: Số thập phân, số nguyên, hỗn số đều là số hữu tỉ.

Ví dụ 1. Giải thích vì sao các số ‒5; 0; ‒0,41; $2\frac{5}{9}$ là các số hữu tỉ. Viết kí hiệu các số này trong tập số hữu tỉ.

Hướng dẫn giải:

Các số đã cho là số hữu tỉ vì mỗi số đó đều viết được dưới dạng phân số.

Cụ thể là:

$-5=\frac{-5}{1};0=\frac{0}{1};-0,41=\frac{-41}{100};2\frac{5}{9}=\frac{23}{9}.$

Do các số trên là số hữu tỉ nên ta kí hiệu được:

‒5 $\in$ ℚ; 0 $\in$ ℚ; ‒0,41 $\in$ ℚ; ^{$2\frac{5}{9}$} $\in$ ℚ.

Ví dụ 2. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ;               

b) Nếu a $\in$ℕ thì a $\in$ ℤ;           

c) Nếu a $\in$ ℕ thì a $\in$ ℚ;

d) ℕ $\in$ ℤ $\in$ ℚ;               

e) Nếu a $\in$ ℤ thì a $\notin$ ℚ;           

f) Nếu a $\in$ℚ thì a $\in$ ℕ.

Hướng dẫn giải:

+ Ta có:

Tập số tự nhiên ℕ = {0; 1; 2; 3; …}.

Tập số nguyên ℤ = {…; ‒2; ‒1; 0; 1; 2; …}.

Tập số hữu tỉ ℚ = {…; ‒2; ‒1,5; ‒1; 0; 1; 1,5; …}

Ta sử dụng kí hiệu ⊂ để so sánh giữa các tập hợp với nhau. Do đó ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ.

Vậy a) đúng và d) sai.

+ Vì ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ nên nếu a $\in$ ℕ thì a $\in$ ℤ và a $\in$ ℚ.

Suy ra b), c) đúng.

+ Vì ℤ ⊂ ℚ nên nếu a $\in$ ℤ thì a $\in$ ℚ.

Suy ra e) sai.

+ Ta lấy ví dụ a = 1,5 $\in$ ℚ nhưng 1,5 không phải số tự nhiên nên 1,5 $\notin$ ℕ.

Do đó f) sai.